Para cada entero $n \geq 2$, sea $F(n)$ denote el mayor factor primo de $n$. Un par extraño es un par de primos distintos $p$ y $q$ tal que no hay un entero $n \geq 2$ para el cual $F(n)F(n+1)=pq$. Demuestre que existen infinitos pares extraños.

Un punto reticular en el plano cartesiano es un punto cuyas coordenadas son ambas enteras. Un polígono reticular es un polígono todos cuyos vértices son puntos reticulares. Sea $\Gamma$ un polígono reticular convexo. Demuestre que $\Gamma$ está contenido en un polígono reticular convexo $\Omega$ tal que los vértices de $\Gamma$ se encuentran todos en la frontera de $\Omega$, y exactamente un vértice de $\Omega$ no es un vértice de $\Gamma$.

Sea $k$ el incírculo y sea $l$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. Demostrar que para cada punto $A'$ del círculo $l$, existe un triángulo $(A'B'C')$, inscrito en el círculo $l$ y circunscrito sobre el círculo $k.$

Sean $a, b$ números reales positivos, y sean $x, y$ números complejos tales que $|x| = a$ y $|y| = b$. Encuentre el valor mínimo y máximo de \[\left|\frac{x + y}{1 + x\overline{y}}\right|\]

Sea $p$ un número primo. Demostrar que no hay ningún número divisible por $p$ en la fila $n$-ésima del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse en la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

Sea $ABCDEFGH$ el paralelepípedo rectangular donde $ABCD$ y $EFGH$ son cuadrados y las aristas $AE,BF,CG,DH$ son todas perpendiculares a los cuadrados. Demostrar que si las $12$ aristas del paralelepípedo tienen longitudes enteras, la diagonal interna $AG$ y la diagonal de la cara $AF$ no pueden tener ambas longitudes enteras.

Los radios del círculo circunscrito y el círculo inscrito de un $n$ - gon regular, $n\ge 3$ se denotan por $R_n$ y $r_n$, respectivamente. Demostrar que \[\frac{r_n}{R_n}\ge\left(\frac{r_{n+1}}{R_{n+1}}\right)^2.\]

Encuentra todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

¿Existen $\{x,y\}\in\mathbb{Z}$ que satisfagan $(2x+1)^{3}+1=y^{4}$ ?

Diez jugadores comienzan a jugar con la misma cantidad de dinero. Por turno, tiran cinco dados. Si los dados muestran un total de $n$, el jugador debe pagar a cada otro jugador $\frac{1}{n}$ veces la suma que ese jugador posee en el momento. Tiran y pagan uno tras otro. En la ronda $10^{\text{th}}$ (es decir, después de que cada jugador haya tirado los cinco dados una vez), los dados muestran un total de $12$ y después del pago resulta que cada jugador tiene exactamente la misma suma que tenía al principio. ¿Es posible determinar los totales mostrados por los dados en las nueve rondas anteriores?