La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 25 de agosto de 2016, 9:36 a. m. • 3 Y Y por Sylvestra, Adventure10, Mango247 Un entero positivo $n$ es Mozart si la representación decimal de la sucesión $1, 2, \ldots, n$ contiene cada dígito un número par de veces. Demuestre que: 1. Todos los números Mozart son pares. 2. Existen infinitos números Mozart. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a_507_bc 679 publicaciones a_507_bc #1 h 3 de sep. de 2022, 10:05 a. m. • 2 Y Y por Mango247, Amir Hossein Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $\sigma(n) =\tau(n) \lceil {\sqrt{n}} \rceil$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Erken 1363 publicaciones Erken #1 h 17 de ene. de 2009, 10:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un hexágono convexo $ ABCDEF$ con área $ S$ , demuestre que: \[ AC\cdot(BD+BF-DF)+CE\cdot(BD+DF-BF)+AE\cdot(BF+DF-BD)\geq 2\sqrt{3}S \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 28 de junio de 2024, 9:28 a. m. Y por Para un entero positivo $n$ , sea $\alpha(n)$ la media aritmética de los divisores de $n$ , y sea $\beta(n)$ la media aritmética de los números $k \le n$ tales que $\text{gcd}(k,n)=1$ . Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $\alpha(n)=\beta(n)$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. alifenix- 1547 publicaciones alifenix- #1 h 18 de abr. de 2020, 5:02 p. m. • 4 Y Y por v4913, megarnie, justJen, Mango247 Sea $m > 1$ un entero. Una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ está definida por $a_1 = a_2 = 1$ , $a_3 = 4$ , y para todo $n \ge 4$ , $$a_n = m(a_{n - 1} + a_{n - 2}) - a_{n - 3}.$$ Determine todos los enteros $m$ tales que cada término de la sucesión sea un cuadrado. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por alifenix-, 18 de abr. de 2020, 5:05 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Teorema-del-binomio 3990 publicaciones Teorema-del-binomio #1 h 14 de junio de 2011, 9:54 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que si $(a,b,c,d)$ son enteros positivos tales que $(a+2^{\frac13}b+2^{\frac23}c)^2=d$ entonces $d$ es un cuadrado perfecto (es decir, es el cuadrado de un entero positivo). Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 18 de abril de 2025, 10:30 a. m. Y por Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ y círculo circunscrito $\omega$. La recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$ se denota por $\ell$. Además, sea $M$ cualquier punto en $\ell$. El círculo $\gamma$ con centro $M$ y radio $BM$ interseca a $AB$ una vez más en el punto $P$ y al círculo circunscrito $\omega$ una vez más en el punto $Q$. Demuestre que los puntos $P, Q$ y $C$ yacen sobre una línea recta. (Karl Czakler) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por BR1F1SZ, 18 de abril de 2025, 10:33 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Teorema-del-binomio 3990 publicaciones Teorema-del-binomio #1 h 14 de junio de 2011, 9:52 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene al menos $31$ soluciones en enteros positivos $x,y$ con $x\le 1980$. Variante: Demuestre que la ecuación $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos $x,y$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 12:41 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que los números $A=n^2+2mn+3m^2+2$ , $B=2n^2+3mn+m^2+2$ , $C=3n^2+mn+2m^2+1$ tengan un divisor común mayor que $1$ . Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Amir Hossein, 1 de nov. de 2010, 4:12 p. m. Razón: Corregido Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 10 de junio de 2011, 6:49 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados los polígonos $P$ y $Q$ como se muestra en la cuadrícula a continuación, corte $P$ en dos polígonos $P_1$ y $P_2$ tales que, al unirlos de manera diferente, formen $Q$. [asy] import graph; size(16cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-2.05,xmax=15.10,ymin=-1.87,ymax=9.74; pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75), zzttqq=rgb(0.6,0.2,0); draw((7,5)--(12,5)--(12,2)--(7,2)--cycle,zzttqq); draw((2,2)--(2,5)--(3,6)--(6,6)--(6,3)--(5,2)--cycle,zzttqq); /*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1; for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs); draw((0,8)--(0,0)); draw((0,0)--(13,0)); draw((13,0)--(13,8)); draw((13,8)--(0,8)); draw((7,5)--(12,5),zzttqq); draw((12,5)--(12,2),zzttqq); draw((12,2)--(7,2),zzttqq); draw((7,2)--(7,5),zzttqq); draw((2,2)--(2,5),zzttqq); draw((2,5)--(3,6),zzttqq); draw((3,6)--(6,6),zzttqq); draw((6,6)--(6,3),zzttqq); draw((6,3)--(5,2),zzttqq); draw((5,2)--(2,2),zzttqq); dot((0,0),linewidth(1pt)+ds); dot((13,0),linewidth(1pt)+ds); dot((0,8),linewidth(1pt)+ds); dot((2,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,6),linewidth(1pt)+ds); dot((13,8),linewidth(1pt)+ds); dot((7,2),linewidth(1pt)+ds); dot((7,5),linewidth(1pt)+ds); dot((12,2),linewidth(1pt)+ds); dot((12,5),linewidth(1pt)+ds); label("$Q$",(8.42,2.56),NE*lsf,zzttqq); dot((5,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,3),linewidth(1pt)+ds); dot((2,5),linewidth(1pt)+ds); dot((3,6),linewidth(1pt)+ds); label("$P$",(4.65,2.74),NE*lsf,zzttqq); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); [/asy] Z K Y