En un pentágono $\Pi$ en el plano, $M_1,...M_5$ son los puntos medios de los lados consecutivos. $Z_i$ es el centroide del triángulo $M_{i} M_{i+1} M_{i+3}$, donde $i=1,2...5$ y se entiende que $M_{j\cdot 5}=M_j$ Dado el pentágono $Z_{1}Z_{2}Z_{3}Z_{4}Z_{5}$, determine el pentágono original $\Pi$.

Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B\in AC$. En un lado de $AC$, dibuje los tres semicírculos con diámetros $AB,BC,CA$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos se encuentra con el tercer círculo $E$. Sean $U,V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Evaluar la razón $R=\frac{[EUV]}{[EAC]}$ como una función de $r_{1} = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$, donde $[X]$ denota el área del polígono $X$.

Sea $A$ un punto fijo en el interior de un círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $r$, donde $0<OA<r$. Dibuje dos cuerdas perpendiculares $BC,DE$ tales que pasen por $A$. ¿Para qué posición de estas cuerdas se maximiza $BC+DE$?

Demostrar que el entero $145^{n} + 3114\cdot 138^{n}$ es divisible por $1981$ si $n=1981$, y que no es divisible por $1981$ si $n=1980$.

Hay un triángulo $ABC$ . Se dan su circuncírculo y su circuncentro. Mostrar cómo se puede construir el ortocentro de $ABC$ utilizando solo una regla (regla no marcada). [Se puede suponer que la regla y el papel son lo suficientemente grandes para que se complete la construcción]

Un triángulo $(ABC)$ y un punto $D$ en su plano satisfacen las relaciones \[\frac{BC}{AD}=\frac{CA}{BD}=\frac{AB}{CD}=\sqrt{3}.\] Demostrar que $(ABC)$ es equilátero y $D$ es su centro.

La función f está definida en el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$ . Satisface las condiciones $f(1)=2$ y $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$ . Determinar f (con prueba)

Demostrar que si $x,y$ son enteros no negativos entonces $5x\ge 7y$ si y solo si existen enteros no negativos $(a,b,c,d)$ tales que \[\left\{\begin{array}{l}x=a+2b+3c+7d\qquad\\ y=b+2c+5d\qquad\\\n\end{array}\right.\]

Demostrar que si $(a,b,c,d)$ son enteros positivos tales que $(a+2^{\frac13}b+2^{\frac23}c)^2=d$ entonces $d$ es un cuadrado perfecto (es decir, es el cuadrado de un entero positivo).

Demostrar que $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene al menos $31$ soluciones en enteros positivos $x,y$ con $x\le 1980$ . Variante: Demostrar que la ecuación $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos x,y.