Dados los polígonos $P$ y $Q$ como se muestra en la cuadrícula a continuación, corte $P$ en dos polígonos $P_1$ y $P_2$ de tal manera que, cuando se pegan de manera diferente, forman $Q$. [asy]\nimport graph; size(16cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-2.05,xmax=15.10,ymin=-1.87,ymax=9.74; \npen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75), zzttqq=rgb(0.6,0.2,0); \ndraw((7,5)--(12,5)--(12,2)--(7,2)--cycle,zzttqq); draw((2,2)--(2,5)--(3,6)--(6,6)--(6,3)--(5,2)--cycle,zzttqq); \n/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype('2 2'); real gx=1,gy=1;\nfor(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs); draw((0,8)--(0,0)); draw((0,0)--(13,0)); draw((13,0)--(13,8)); draw((13,8)--(0,8)); draw((7,5)--(12,5),zzttqq); draw((12,5)--(12,2),zzttqq); draw((12,2)--(7,2),zzttqq); draw((7,2)--(7,5),zzttqq); draw((2,2)--(2,5),zzttqq); draw((2,5)--(3,6),zzttqq); draw((3,6)--(6,6),zzttqq); draw((6,6)--(6,3),zzttqq); draw((6,3)--(5,2),zzttqq); draw((5,2)--(2,2),zzttqq); \ndot((0,0),linewidth(1pt)+ds); dot((13,0),linewidth(1pt)+ds); dot((0,8),linewidth(1pt)+ds); dot((2,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,6),linewidth(1pt)+ds); dot((13,8),linewidth(1pt)+ds); dot((7,2),linewidth(1pt)+ds); dot((7,5),linewidth(1pt)+ds); dot((12,2),linewidth(1pt)+ds); dot((12,5),linewidth(1pt)+ds); label('$Q$',(8.42,2.56),NE*lsf,zzttqq); dot((5,2),linewidth(1pt)+ds); dot((6,3),linewidth(1pt)+ds); dot((2,5),linewidth(1pt)+ds); dot((3,6),linewidth(1pt)+ds); label('$P$',(4.65,2.74),NE*lsf,zzttqq); \nclip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); \n[/asy]

En el espacio euclidiano tridimensional, llamamos plegamiento de una esfera $S$ a cada partición de $S \setminus \{x,y\}$ en círculos disjuntos, donde $x$ e $y$ son dos puntos de $S$. Un plegamiento de $S$ se llama lineal si los círculos del plegamiento se obtienen por la intersección de $S$ con una familia de planos paralelos o con una familia de planos que contienen una línea recta $D$ exterior a $S$. ¿Es todo plegamiento de una esfera $S$ lineal?

Dado un número real $x>1$, demostrar que existe un número real $y >0$ tal que \[\lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{y+\sqrt {y + \cdots+\sqrt y}}}_{n \text{ raíces}}=x.\]

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ son tangentes en un punto $P$. La línea recta en $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta el otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demostrar que la línea recta $PA$ es una bisectriz (interior o exterior) del ángulo $BPC$.

Sea $p: \mathbb C \to \mathbb C$ un polinomio con grado $n$ y coeficientes complejos que satisface \[x \in \mathbb R \iff p(x) \in \mathbb R.\] Mostrar que $n=1$

Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $p(0)=p(1)=1$ . Definimos la secuencia $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ que comienza con un entero no nulo arbitrario $a_0$ y satisface $a_{n+1}=p(a_n)$ para todo $n \in \mathbb N\cup \{0\}$ . Demostrar que $\gcd(a_i,a_j)=1$ para todo $i,j \in \mathbb N \cup \{0\}$ .

Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto distinto de $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2, E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos líneas que pasan por $C$. Demostrar que las líneas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento en $t_2$ igual en longitud al segmento en $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2.$

Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demostrar que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$

Encontrar el mayor número natural $n$ tal que existen números naturales $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ y naturales $a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{n-1}$ que satisfacen las siguientes ecuaciones para $i =1,2,\ldots,n-1$ : \[x_{1}x_{2}\ldots x_{n}= 1980 \quad \text{y}\quad x_{i}+\frac{1980}{x_{i}}= a_{i}.\]

Dada una secuencia $\{a_n\}$ de números reales tales que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$, demostrar que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$, \[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]