Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demostrar que las bisectrices perpendiculares de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

Demostrar que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ . (La $k$ no está fija, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ posibles subconjuntos no vacíos.)

Demostrar que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

Sea $\{x_n\}$ una secuencia de números naturales tal que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\] Demostrar que, para cada número natural $k$, existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

Dado tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1,2,3,4,5,6,7 y 8 pertenece a al menos una de ellas, demostrar que el número 1980 también pertenece a al menos una de ellas.

Encontrar los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

En un sistema de coordenadas rectangular llamamos a una línea horizontal paralela al eje $x$ triangular si interseca la curva con ecuación \n\[y = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\]\nen los puntos $A,B,C$ y $D$ (de izquierda a derecha) tales que los segmentos $AB, AC$ y $AD$ son los lados de un triángulo. Demuestre que las líneas paralelas al eje $x$ que intersecan la curva en cuatro puntos distintos son todas triangulares o ninguna de ellas es triangular.

Determine todos los enteros positivos $n$ tales que la siguiente afirmación se cumple: Si un polígono convexo con $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en un círculo y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que si los pares de lados opuestos \n\[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\]\nson paralelos, entonces los lados \n\[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\]\nson paralelos también.

Demuestre que la ecuación \n\[ x^n + 1 = y^{n+1}, \]\ndonde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones enteras positivas en $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ son relativamente primos.

Defina los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera: \n\[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \]\nDemuestre que \n\[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]