Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La bisectriz perpendicular de $AB$ interseca a $BC$ en el punto $X$, la bisectriz perpendicular de $AC$ la interseca en $Y$. Demuestre que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC= XY$ (o en otras palabras: Demuestre que una condición suficiente para $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ ). Demuestre que esta condición no es necesaria, y dé una condición necesaria y suficiente para $BC = XY$.

En el plano, considere un punto $ X$ y un polígono $ \mathcal{F}$ (que no es necesariamente convexo). Sea $ p$ el perímetro de $ \mathcal{F}$ , sea $ d$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a los vértices de $ \mathcal{F}$ , y sea $ h$ la suma de las distancias desde el punto $ X$ a las líneas laterales de $ \mathcal{F}$ . Demuestre que $ d^2 - h^2\geq\frac {p^2}{4}.$

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo, y sean $ R_A, R_B, R_C, R_D$ los circunradios de los triángulos $ DAB, ABC, BCD, CDA,$ respectivamente. Demuestre que $ R_A + R_C > R_B + R_D$ si y solo si $ \angle A + \angle C > \angle B + \angle D.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y circunradio $R$ . $AO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $BOC$ en $A'$ , $BO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $COA$ en $B'$ y $CO$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $AOB$ en $C'$ . Demuestre que \[OA'\cdot OB'\cdot OC'\geq 8R^{3}.\]

Sean los lados de dos rectángulos $ \{a,b\}$ y $ \{c,d\},$ respectivamente, con $ a < c \leq d < b$ y $ ab < cd.$ Demuestre que el primer rectángulo puede ser colocado dentro del segundo si y solo si \[ \left(b^2 - a^2\right)^2 \leq \left(bc - ad \right)^2 + \left(bd - ac \right)^2.\]

Sean $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A},R_{C},R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB,BCD,DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E}\geq \frac {P}{2}.\]

Determinar si existen o no dos conjuntos infinitos disjuntos $ A$ y $ B$ de puntos en el plano que satisfagan las siguientes condiciones: \na.) No hay tres puntos en $ A \cup B$ que sean colineales, y la distancia entre dos puntos cualesquiera en $ A \cup B$ es al menos 1. \nb.) Hay un punto de $ A$ en cualquier triángulo cuyos vértices están en $ B,$ y hay un punto de $ B$ en cualquier triángulo cuyos vértices están en $ A.$

Sean $ k,m,n$ enteros tales que $ 1 < n \leq m - 1 \leq k.$ Determine el tamaño máximo de un subconjunto $ S$ del conjunto $ \{1,2,3, \ldots, k-1,k\}$ tal que ningún $ n$ elementos distintos de $ S$ sumen $ m.$

Un cuadrado $ (n - 1) \times (n - 1)$ está dividido en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe colorearse de rojo o azul. Encuentra el número de coloraciones diferentes de modo que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice se colorea de forma diferente en los dos esquemas.)

Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$ . El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Los siguientes movimientos están permitidos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$ . La tarea es encontrar una secuencia de movimientos que conduzca desde el cuadrado con $ A$ como vértice hasta el cuadrado con $ B$ como vértice.\n(a) Demostrar que la tarea no se puede realizar si $ r$ es divisible por 2 o 3.\n(b) Demostrar que la tarea es posible cuando $ r = 73$ .\n(c) ¿Se puede realizar la tarea cuando $ r = 97$ ?