La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 21 de sep. de 2022, 6:21 a. m. • 2 Y Y por Mango247, Mango247 Sea $S = \{1,..., 999\}$ . Determine el entero $m$ más pequeño para el cual existen $m$ tarjetas de dos caras $C_1$ , ..., $C_m$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ Cada tarjeta $C_i$ tiene un entero de $S$ en una cara y otro entero de $S$ en la otra cara. $\bullet$ Para todo $x,y \in S$ con $x\ne y$ , es posible seleccionar una tarjeta $C_i$ que muestre $x$ en una de sus caras y otra tarjeta $C_j$ (con $i \ne j$ ) que muestre $y$ en una de sus caras. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 21 de sep. de 2022, 6:21 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 18 de abril de 2025, 10:30 a. m. Y por Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ y círculo circunscrito $\omega$. La recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$ se denota por $\ell$. Además, sea $M$ cualquier punto en $\ell$. El círculo $\gamma$ con centro $M$ y radio $BM$ interseca a $AB$ una vez más en el punto $P$ y al círculo circunscrito $\omega$ una vez más en el punto $Q$. Demuestre que los puntos $P, Q$ y $C$ yacen sobre una línea recta. (Karl Czakler) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por BR1F1SZ, 18 de abril de 2025, 10:33 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 13 de sep. de 2024, 12:00 p. m. • 1 Y Y por NO_SQUARES Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que $P(n)$ es un entero para todo entero $n$. Además: $gcd(P(1), \ldots , P(k), \ldots) = 1$. Demuestre que todo entero $k$ puede representarse de infinitas maneras de la forma $\pm P(1) \pm P(2) \pm \ldots \pm P(m)$, para algún entero positivo $m$ y ciertas elecciones de $\pm$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ErTeeEs06 117 publicaciones ErTeeEs06 #1 h 13 de sep. de 2025, 2:45 a. m. Y por Considere la ecuación $$n!-(n-1)n=4p^2$$ donde $n$ es un entero positivo y $p$ es un número primo. (Aquí $n!$ representa el producto de los números del $1$ al $n$. Por ejemplo, $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$.) Encuentre todas las soluciones $(n, p)$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por ErTeeEs06, 13 de sep. de 2025, 3:00 a. m. Razón: fuente Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 12:36 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todos los números de cuatro dígitos tales que, al descomponerse en factores primos, cada número tenga la suma de sus factores primos igual a la suma de sus exponentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 10:50 a. m. • 3 Y Y por sarti25, Adventure10, cubres Encuentre todos los enteros positivos $a,b$ para los cuales $a^4+4b^4$ es un número primo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de ago. de 2019, 4:37 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 El polígono circunscrito alrededor de un círculo de radio $ r $ se divide de alguna manera en triángulos. Demuestre que la suma de los radios de los círculos inscritos en estos triángulos es mayor que $ r $ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 1 de agosto de 2019, 2:07 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea un triángulo no equilátero $ ABC $ dado. Los puntos $ G $ e $ I $ son el punto de intersección de las medianas y las bisectrices de los ángulos del triángulo $ ABC $ , respectivamente. Demuestre que al menos una de las siguientes tres desigualdades $ AI> AG $ , $ BI> BG $ , $ CI> CG $ siempre se cumple. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 22 de diciembre de 2020, 11:42 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BigSams 6588 publicaciones BigSams #1 h 14 de junio de 2011, 11:57 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Diez apostadores comienzan a jugar con la misma cantidad de dinero. Por turnos, lanzan cinco dados. Si los dados muestran un total de $n$, el jugador debe pagar a cada uno de los otros jugadores $\frac{1}{n}$ veces la suma que ese jugador posee en ese momento. Lanzan y pagan uno tras otro. En la décima ronda (es decir, después de que cada jugador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados muestran un total de $12$ y, después del pago, resulta que cada jugador tiene exactamente la misma suma que tenía al principio. ¿Es posible determinar los totales mostrados por los dados en las nueve rondas anteriores? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 28 de junio de 2006, 9:24 PM • 4 Y Y por donot, Adventure10, son7, Mango247 El triángulo $ABC$ es isósceles con $AB=AC$ , y $\angle{BAC}<60^{\circ}$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen en el lado $AC$ tales que $EB=ED$ , y $\angle{ABD}\equiv\angle{CBE}$ . Denotemos por $O$ el punto de intersección entre las bisectrices internas de los ángulos $\angle{BDC}$ y $\angle{ACB}$ . Calcule $\angle{COD}$ . Z K Y