Sea la sucesión $ a(n), n = 1,2,3, \ldots$ generada como sigue con $ a(1) = 0,$ y para $ n > 1:$ \[ a(n) = a\left( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right) + (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}.\] 1.) Determina el valor máximo y mínimo de $ a(n)$ para $ n \leq 1996$ y encuentra todos los $ n \leq 1996$ para los cuales se alcanzan estos valores extremos. 2.) ¿Cuántos términos $ a(n), n \leq 1996,$ son iguales a 0?

Sea $ \mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Encuentra todas las funciones $ f$ de $ \mathbb{N}_0$ en sí mismo tales que \[ f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)\qquad \text{para todo} \; m, n \in \mathbb{N}_0.\]

Sea $ V$ un conjunto finito y sean $ g$ y $ f$ dos funciones inyectivas sobreyectivas de $ V$ a $ V$ . Sean $ T$ y $ S$ dos conjuntos tales que se definen de la siguiente manera: $ S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\}$ $ T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\}$ Sabemos que $ S \cup T = V$ , probar: para cada $ w \in V : f(w) \in S$ si y solo si $ g(w) \in S$

Se coloca un número finito de monedas en una fila infinita de casillas. Se realiza una secuencia de movimientos de la siguiente manera: en cada etapa se elige una casilla que contenga más de una moneda. Se toman dos monedas de esta casilla; una de ellas se coloca en la casilla inmediatamente a la izquierda, mientras que la otra se coloca en la casilla inmediatamente a la derecha de la casilla elegida. La secuencia termina si en algún momento hay como máximo una moneda en cada casilla. Dada una configuración inicial, demostrar que cualquier secuencia legal de movimientos terminará después del mismo número de pasos y con la misma configuración final.

Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos con $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $ (n + 1)$ - tupla de enteros que satisfacen las siguientes condiciones : \n(a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y \n(b) Para cada $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . \nDemostrar que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

Sean $ a_{1}, a_{2}...a_{n}$ reales no negativos, no todos cero. Muestra que\n(a) El polinomio $ p(x) = x^{n} - a_{1}x^{n - 1} + ... - a_{n - 1}x - a_{n}$ tiene precisamente 1 raíz real positiva $ R$ .\n(b) sea $ A = \sum_{i = 1}^n a_{i}$ y $ B = \sum_{i = 1}^n ia_{i}$ . Muestra que $ A^{A} \leq R^{B}$ .

Sea $ a > 2$ dado, y comenzando $ a_0 = 1, a_1 = a$ define recursivamente: \[ a_{n+1} = \left(\frac{a^2_n}{a^2_{n-1}} - 2 \right) \cdot a_n.\] Muestra que para todos los enteros $ k > 0,$ tenemos: $ \sum^k_{i = 0} \frac{1}{a_i} < \frac12 \cdot (2 + a - \sqrt{a^2-4}).$

Sean $ a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n$ números reales tales que para todos los enteros $ k > 0,$ \[ a^k_1 + a^k_2 + \ldots + a^k_n \geq 0.\] Sea $ p =\max\{|a_1|, \ldots, |a_n|\}.$ Demuestra que $ p = a_1$ y que \[ (x - a_1) \cdot (x - a_2) \cdots (x - a_n) \leq x^n - a^n_1\] para todos los $ x > a_1.$

Suponga que $a, b, c > 0$ tal que $abc = 1$. Demuestra que \[ \frac{ab}{ab + a^5 + b^5} + \frac{bc}{bc + b^5 + c^5} + \frac{ca}{ca + c^5 + a^5} \leq 1. \]

Sean $AL$ y $BK$ bisectrices de los ángulos en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ se encuentra en el lado $BC$ , $K$ se encuentra en el lado $AC$ ) . La bisectriz perpendicular de $BK$ interseca la línea $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ se encuentra en la línea $BK$ tal que $LN$ es paralelo a $MK$ . Demuestre que $LN = NA$ .