Considere un triángulo ${ABC}$ y sea ${M}$ el punto medio del lado ${BC.}$ Suponga que ${\angle MAC=\angle ABC}$ y ${\angle BAM=105^{\circ}.}$ Encuentre la medida de ${\angle ABC}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo . Un círculo $\omega_1(O_1,R_1)$ pasa por los puntos $B$ y $C$ y se encuentra con los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente . Sea $\omega_2(O_2,R_2)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$ . Demuestre que $O_1O_2$ es igual al circunradio del triángulo $ABC$ .

Considere un triángulo $ABC$ con $\angle ACB=90^{\circ}$ . Sea $F$ el pie de la altura desde $C$ . El círculo $\omega$ toca el segmento de línea $FB$ en el punto $P$ , la altura $CF$ en el punto $Q$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $R$ . Demuestre que los puntos $A, Q, R$ son colineales y $AP = AC$ .

Encuentra n tal que $36^n-6$ es el producto de tres números naturales consecutivos.

Encuentra todos los enteros $n$, $n \ge 1$, tales que $n \cdot 2^{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto.

Sean $ x, y, z > 0 $ con $ x \leq 2, \;y \leq 3 \;$ y $ x+y+z = 11 $. Demuestra que $xyz \leq 36$

Sean $a,b,c $ números reales positivos tales que $abc(a+b+c)=3$ Demuestra que $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8$

Encuentra todos los pares $(x,y)$ de números reales tales que $ |x|+ |y|=1340$ y $x^{3}+y^{3}+2010xy= 670^{3}$ .

Determina todos los números de cuatro dígitos $\bar{a}\bar{b}\bar{c}\bar{d}$ tales que\n$$a(a+b+c+d)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{6}+2b^{6}+3c^{6}+4d^{6})=\bar{a}\bar{b}\bar{c}\bar{d}$$\n

Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones\n\[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\]\nDemuestra que $a + b + c + d \not = 0$ .