Demuestra que, dado un entero positivo $n$ , existe un entero positivo $k_n$ con la siguiente propiedad: Dados $k_n$ puntos en el espacio, $4$ por $4$ no coplanares, y números enteros asociados entre $1$ y $n$ a cada arista afilada que une $2$ de estos puntos, necesariamente hay un triángulo determinado por $3$ de ellos, cuyas aristas afiladas tienen asociado el mismo número.

Demuestra que existe una sucesión $a_1, a_2, ... , a_k, ...$ , donde cada $a_i$ es un dígito ( $a_i \in (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ ) y $a_0=6$ , tal que, para cada entero positivo $n$ , el número $x_n=a_0+10a_1+100a_2+...+10^{n-1}a_{n-1}$ verifica que $x_n^2-x_n$ es divisible por $10^n$ .

En un tablero de ajedrez ( $8\times 8$ ) están escritos los números $1$ a $64$ : en la primera línea, de izquierda a derecha, están los números $1, 2, 3, ... , 8$ ; en la segunda línea, de izquierda a derecha, están los números $9, 10, 11, ... , 16$ ; etc. Los signos ' ' $ + $ ' ' y ' ' $- $ ' ' se colocan en cada número de tal manera que, en cada línea y en cada columna, hay $4$ signos ' ' $+$ ' ' y $4$ signos ' ' $-$ ' '. Entonces, se suman los $64$ números. Encuentra todos los valores posibles de esta suma.

Encuentra el número de elementos que puede tener un conjunto $B$, contenido en $(1, 2, ... , n)$, de acuerdo con la siguiente propiedad: Para cualquier elemento $a$ y $b$ en $B$ ( $a \ne b$ ) , $(a-b) \not| (a+b)$ .

Considera un círculo con centro $O$ , y $3$ puntos en él, $A,B$ y $C$ , tal que $\angle {AOB}< \angle {BOC}$ . Sea $D$ el punto medio en el arco $AC$ que contiene el punto $B$ . Considera un punto $K$ en $BC$ tal que $DK \perp BC$ . Demuestra que $AB+BK=KC$ .

En una mesa hay una pila con $T$ fichas que se convertirán incrementalmente en pilas de tres fichas cada una. Cada paso consiste en seleccionar una pila y quitar una de sus fichas. Y luego la pila restante se separa en dos pilas. ¿Existe una secuencia de pasos que pueda realizar este proceso?\na.) $T = 1000$ (Cono Sur)\nb.) $T = 2001$

Una función $g$ definida para todos los enteros positivos $n$ satisface $g(1) = 1$ ; para todo $n\ge 1$ , o bien $g(n+1)=g(n)+1$ o $g(n+1)=g(n)-1$ ; para todo $n\ge 1$ , $g(3n) = g(n)$ ; y $g(k)=2001$ para algún entero positivo $k$ . Encuentra, con prueba, el valor más pequeño posible de $k$ .

Encuentra todos los enteros positivos $m$ para los cuales $2001\cdot S (m) = m$ donde $S(m)$ denota la suma de los dígitos de $m$ .

Un polígono de área $S$ está contenido dentro de un cuadrado de lado de longitud $a$ . Demuestra que existen dos puntos del polígono que están a una distancia de al menos $S/a$ .

Tres triángulos acutángulos están inscritos en el mismo círculo con sus vértices siendo nueve puntos distintos. Demuestra que se puede elegir un vértice de cada triángulo de manera que los tres puntos elegidos determinen un triángulo donde cada uno de sus ángulos sea a lo más $90^\circ$ .