Una secuencia $a_1,a_2,\ldots$ de enteros positivos satisface las siguientes propiedades. $a_1 = 1$ $a_{3n+1} = 2a_n + 1$ $a_{n+1}\ge a_n$ $a_{2001} = 200$ Encuentra el valor de $a_{1000}$ .

Cada entrada en un arreglo de $2000\times 2000$ es $0$ , $1$ , o $-1$ . Demuestra que es posible que todas las $4000$ sumas de filas y sumas de columnas sean distintas.

Hay un cuadrado $ABCD$ en el plano con $|AB|=a$. Determinar el valor de radio posible más pequeño de tres círculos iguales para cubrir un cuadrado dado.

Sean $a, b, c$ números reales positivos para los cuales $ab + ac + bc \ge a + b + c$. Demostrar que $a + b + c \ge 3$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle DAB =\angle ABC =\angle BCD > 90^o$. El círculo circunscrito alrededor del triángulo $ABC$ intersecta los lados $AD$ y $CD$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente, diferentes de cualquier vértice del cuadrilátero $ABCD$. Los segmentos $AL$ y $CK$ se intersectan en el punto $P$. Demostrar que $\angle ADB =\angle PDC$.

En un cierto grupo hay $n \ge 5$ personas, con cada dos personas que no se conocen teniendo exactamente un amigo en común y nadie conoce a todos los demás. Probar que $5$ de $n$ personas pueden sentarse en un círculo alrededor de la mesa de modo que cada uno de ellos se siente entre a) amigos, b) extraños.

Hallar todos los números naturales $n$ tales que la suma de los tres divisores más grandes de $n$ es $1457$.

Decidir si hay infinitos primos $p$ que tienen un múltiplo de la forma $n^2 + n + 1$ para algún número natural $n$

El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$. El punto $P$ se encuentra en el segmento $AB$, y los puntos $S_1$ y $S_2$ son los centros de las circunferencias circunscritas de $APC$ y $BPC$, respectivamente. Demostrar que el punto medio del segmento $S_1S_2$ se encuentra en la mediatriz del segmento $CM$.

Determinar el número de dos dígitos más grande $d$ con la siguiente propiedad: para cualquier número de seis dígitos $\overline{aabbcc}$, el número $d$ es un divisor del número $\overline{aabbcc}$ si y solo si el número $d$ es un divisor del número de tres dígitos correspondiente $\overline{abc}$. Nota: Los números $a \ne 0, b$ y $c$ no necesitan ser diferentes.