El pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo y $AB = BC = CD$. Los segmentos $AC$ y $BE$ se intersectan en $K$, y los segmentos $AD$ y $CE$ se intersectan en el punto $L$. Demostrar que $AK = KL$.

Cada entero positivo debe ser coloreado de rojo o verde de tal manera que se cumplan las siguientes dos condiciones: - Sea $n$ cualquier número rojo. La suma de cualquier $n$ (no necesariamente diferentes) números rojos es rojo. - Sea $m$ cualquier número verde. La suma de cualquier $m$ (no necesariamente diferentes) números verdes es verde. Determinar todas estas coloraciones.

Determinar todos los pares $(x, y)$ de enteros que satisfacen la igualdad $\sqrt{x-\sqrt{y}}+ \sqrt{x+\sqrt{y}}= \sqrt{xy}$

Vukasin, Dimitrije, Dusan, Stefan y Filip le pidieron a su profesor que adivinara tres enteros positivos consecutivos, después de estas afirmaciones verdaderas:\nVukasin: 'La suma de los dígitos de un número es un número primo. La suma de los dígitos de otro de los otros dos es un número par perfecto. ($n$ es perfecto si $\sigma(n)=2n$ ). La suma de los dígitos del tercer número es igual al número de sus divisores positivos'.\nDimitrije: 'Cada uno de esos tres números tiene como máximo dos dígitos iguales a $1$ en su representación decimal'.\nDusan: 'Si sumamos $11$ a exactamente uno de ellos, entonces tenemos un cuadrado perfecto de un entero'.\nStefan: 'Cada uno de ellos tiene exactamente un divisor primo menor que $10$'.\nFilip: 'Los tres números están libres de cuadrados'.\nEl profesor encontró la respuesta correcta. ¿Qué números mencionó?

Encuentra todas las soluciones no negativas a la ecuación $2013^x+2014^y=2015^z$

Demuestra que no existen enteros $a$ y $b$ con las condiciones, i) $16a-9b$ es un número primo. ii) $ab$ es un cuadrado perfecto. iii) $a+b$ es también un cuadrado perfecto.

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $x^2=y^2(x+y^4+2y^2)$ .

Encuentre todas las ternas de primos $(p,q,r)$ que satisfacen $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$ .

Todas las letras en la palabra $VUQAR$ son diferentes y elegidas del conjunto $\{1,2,3,4,5\}$ . Encuentre todas las soluciones a la ecuación \[\frac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R}=V^{{{U^Q}^A}^R}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cuyas diagonales no son perpendiculares y cuyos lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $O$ la intersección de sus diagonales. Denotemos con $H_1$ y $H_2$ los ortocentros de los triángulos $AOB$ y $COD,$ respectivamente. Si $M$ y $N$ son los puntos medios de los segmentos $AB$ y $CD,$ respectivamente. Demuestre que las líneas $H_1H_2$ y $MN$ son paralelas si y solo si $AC=BD.$