La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 18 de abril de 2025, 10:30 a. m. Y por Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ y círculo circunscrito $\omega$. La recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$ se denota por $\ell$. Además, sea $M$ cualquier punto en $\ell$. El círculo $\gamma$ con centro $M$ y radio $BM$ interseca a $AB$ una vez más en el punto $P$ y al círculo circunscrito $\omega$ una vez más en el punto $Q$. Demuestre que los puntos $P, Q$ y $C$ yacen sobre una línea recta. (Karl Czakler) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por BR1F1SZ, 18 de abril de 2025, 10:33 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MathKnight16 42 publicaciones MathKnight16 #1 h 5 de mayo de 2015, 7:38 a. m. • 7 Y Y por Mukhammadiev, CherryMagic, MSTang, Davi-8191, tiendung2006, Adventure10, Mango247 Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Las rectas $AI, BI, CI$ intersecan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $D, E, F$, respectivamente. Las rectas paralelas trazadas desde $I$ a los lados $BC, AC, AB$ intersecan a $EF, DF, DE$ en los puntos $K, L, M$, respectivamente. Demuestre que los puntos $K, L, M$ son colineales. (Chipre) Esta publicación ha sido editada 7 veces. Última edición por MathKnight16, 5 de mayo de 2015, 10:06 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. alifenix- 1547 publicaciones alifenix- #1 h 18 de abr. de 2020, 5:00 p. m. • 5 Y Y por anser, itslumi, v4913, megarnie, Rounak_iitr Encuentre todas las listas $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ de números reales no negativos tales que se satisfagan las siguientes tres condiciones: $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2020}$ ; $x_{2020} \le x_1 + 1$ ; existe una permutación $(y_1, y_2, \ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ tal que $$\sum_{i = 1}^{2020} ((x_i + 1)(y_i + 1))^2 = 8 \sum_{i = 1}^{2020} x_i^3.$$ Una permutación de una lista es una lista de la misma longitud, con las mismas entradas, pero se permite que las entradas estén en cualquier orden. Por ejemplo, $(2, 1, 2)$ es una permutación de $(1, 2, 2)$, y ambas son permutaciones de $(2, 2, 1)$. Note que cualquier lista es una permutación de sí misma. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por alifenix-, 18 de abr. de 2020, 5:04 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 14 de junio de 2011, 9:07 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Los radios del círculo circunscrito y del círculo inscrito de un $n$-gono regular, $n\ge 3$, se denotan por $R_n$ y $r_n$, respectivamente. Demuestre que \[\frac{r_n}{R_n}\ge\left(\frac{r_{n+1}}{R_{n+1}}\right)^2.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lukaluce 286 publicaciones Lukaluce #1 h 27 de junio de 2024, 5:01 AM • 5 Y Y por ItsBesi, Sedro, Math_.only., QueenArwen, Leman_Nabiyeva Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}.$$ Demuestre que $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}.$$ Propuesto por Petar Filipovski, Macedonia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Lukaluce, 28 de junio de 2024, 6:35 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 11:01 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Shawgi23 Demuestre que no existen enteros $x,y,z$ tales que \[x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=2000 \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. nAalniaOMliO 512 publicaciones nAalniaOMliO #1 h 13 de sep. de 2024, 12:01 p. m. • 2 Y Y por Rounak_iitr, sami1618 Desde un punto $S$ , que se encuentra fuera del círculo $\Omega$ , se trazan las rectas tangentes $SA$ y $SB$ a dicho círculo. En la cuerda $AB$ se elige un punto arbitrario $K$ . $SK$ corta a $\Omega$ en los puntos $P$ y $Q$ , y las cuerdas $RT$ y $UW$ pasan por $K$ de tal manera que $W, Q$ y $T$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a $AB$ . Las rectas $WR$ y $TU$ cortan a la cuerda $AB$ en $C$ y $D$ , y $M$ es el punto medio de $PQ$ . Demuestre que $\angle AMC = \angle BMD$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BigSams 6588 publicaciones BigSams #1 h 15 de junio de 2011, 12:01 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Existen $\{x,y\}\in\mathbb{Z}$ que satisfagan $(2x+1)^{3}+1=y^{4}$ ? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de ago. de 2019, 4:37 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 El polígono circunscrito alrededor de un círculo de radio $ r $ se divide de alguna manera en triángulos. Demuestre que la suma de los radios de los círculos inscritos en estos triángulos es mayor que $ r $ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 18 de abr. de 2025, 10:35 a. m. • 1 Y Y por teomihai Sea $z$ un entero positivo que no es divisible por $8$. Además, sea $n \geqslant 2$ un entero positivo. Demuestre que ninguno de los números de la forma $z^n + z + 1$ es un número cuadrado. (Walther Janous) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por BR1F1SZ, 18 de abr. de 2025, 10:35 a. m. Z K Y