Olimpiada Junior de los Balcanes 2014 Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo con ${AB\ne BC}$ ; y sea ${BD}$ la bisectriz interna de $\angle ABC,\ $ , $\left( D\in AC \right)$ . Denotemos por ${M}$ el punto medio del arco ${AC}$ que contiene el punto ${B}$ . El círculo circunscrito del triángulo ${\vartriangle BDM}$ interseca el segmento ${AB}$ en el punto ${K\neq B}$ . Sea ${J}$ la reflexión de ${A}$ con respecto a ${K}$ . Si ${DJ\cap AM=\left\{O\right\}}$ , demuestre que los puntos ${J, B, M, O}$ pertenecen al mismo círculo.
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Olimpiada Júnior de los Balcanes 2014 Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\not=AC.$ Sea $M$ el punto medio de $BC, H$ el ortocentro de $\triangle ABC$ $,O_1$ el punto medio de $AH$ y $O_2$ el circuncentro de $\triangle BCH$ $.$. Demuestra que $O_1AMO_2$ es un paralelogramo.
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Olimpiada Júnior de los Balcanes 2014 Problema 3
Considera un triángulo acutángulo $ABC$ de área $S$ . Sea $CD \perp AB$ ( $D \in AB$ ) , $DM \perp AC$ ( $M \in AC$ ) y $DN \perp BC$ ( $N \in BC$ ) . Denota por $H_1$ y $H_2$ los ortocentros de los triángulos $MNC$ , respectivamente $MND$ . Encuentra el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ en términos de $S$.
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Olimpiada Júnior de los Balcanes 2014 Problema 2
Sea ${ABC}$ un triángulo acutángulo con ${AB<AC<BC}$ y sea ${c(O,R)}$ su circuncírculo. Se dibujan los diámetros ${BD}$ y ${CE}$. El círculo ${c_1(A,AE)}$ interseca a ${AC}$ en ${K}$ . El círculo ${{c}_{2}(A,AD)}$ interseca a ${BA}$ en ${L}$ . ( ${A}$ está entre ${B}$ y ${L}$ ) . Demuestra que las líneas ${EK}$ y ${DL}$ se intersecan en el círculo $c$.
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Olimpiada Júnior de los Balcanes 2014 Problema 1
Sea ${ABC}$ un triángulo con $m\left( \angle B \right)=m\left( \angle C \right)={{40}^{{}^\circ }}$. La bisectriz de ${\angle{B}}$ interseca a ${AC}$ en el punto ${D}$ . Demuestra que $BD+DA=BC$.
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Olimpiada Júnior de los Balcanes Shortlist 2014 Problema 4
$A=1\cdot4\cdot7\cdots2014$. Encuentra el último dígito diferente de cero de $A$ si se sabe que $A\equiv 1\mod3$.
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Olimpiada Júnior de los Balcanes Shortlist 2014 Problema 3
Para un entero positivo $n$, dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: Dado una pila de $s$ piedras, los jugadores se turnan alternativamente con $A$ yendo primero. En cada turno, el jugador puede tomar una piedra, o un número primo de piedras, o un múltiplo positivo de $n$ piedras. El ganador es el que toma la última piedra. Asumiendo que tanto $A$ como $B$ juegan perfectamente, ¿para cuántos valores de $s$ el jugador $A$ no puede ganar?
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Olimpiada Júnior de los Balcanes Shortlist 2014 Problema 2
En un país con $n$ pueblos, todos los vuelos directos son de destinos dobles (ida y vuelta). Hay $r>2014$ rutas entre diferentes pares de pueblos, que no incluyen más de una parada intermedia (la dirección de cada ruta importa). Encuentra el valor mínimo posible de $n$ y el mínimo posible de $r$ para ese valor de $n$.
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Olimpiada Júnior de los Balcanes Shortlist 2014 Problema 1
Hay algunos números reales en la pizarra (al menos dos). En cada paso, elegimos dos de ellos, por ejemplo $a$ y $b$, y luego los reemplazamos con $\frac{ab}{a+b}$. Continuamos hasta que haya un número. Demuestra que el último número no depende de en qué orden elegimos los números para borrar.
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Olimpiada Junior de los Balcanes , Lista Corta 2014 Problema 9
Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n$ números reales positivos tales que $x_1+\ldots+x_n=y_1+\ldots+y_n=1$ . Demuestra que: $$|x_1-y_1|+\ldots+|x_n-y_n|\leq 2-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{x_i}{y_i}-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{y_i}{x_i}$$
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