Sean $\displaystyle {x, y, z}$ números reales positivos tales que $\displaystyle {xyz = 1}$ . Demuestra la desigualdad: $$\displaystyle{\dfrac{1}{x\left(ay+b\right)}+\dfrac{1}{y\left(az+b\right)}+\dfrac{1}{z\left(ax+b\right)}\geq 3}$$

$a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a^2+b^2+c^2=48$ . Demuestra que \[a^2\sqrt{2b^3+16}+b^2\sqrt{2c^3+16}+c^2\sqrt{2a^3+16}\le24^2\]

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestra que \[\left((3a^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)\left((3b^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)\left((3c^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)\geq 48^3\]

Sean $x,y$ y $z$ números reales no negativos que satisfacen la ecuación $x+y+z=xyz$ . Demuestra que $2(x^2+y^2+z^2)\geq3(x+y+z)$ .

Con las condiciones $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a+b+c=1$ , demuestra que $$\frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}\geq\frac{69}{4}$$

Para números reales positivos $a,b,c$ con $abc=1$ demuestra que $\left(a+\frac{1}{b}\right)^{2}+\left(b+\frac{1}{c}\right)^{2}+\left(c+\frac{1}{a}\right)^{2}\geq 3(a+b+c+1)$

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = \dfrac {1} {8}$ . Demuestra la desigualdad: $$a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + c ^ 2a ^ 2 \geq \dfrac {15} {16}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Resolver en números reales positivos: $n+ \lfloor \sqrt{n} \rfloor+\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor=2014$

Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ se llama aquaesuliana si se cumple la siguiente propiedad: para todo $x,y \in \mathbb{Q}$ , \[ f(x+f(y)) = f(x) + y \quad \text{o} \quad f(f(x)+y) = x + f(y). \] Demuestre que existe un entero $c$ tal que para cualquier función aquaesuliana $f$ hay a lo sumo $c$ números racionales diferentes de la forma $f(r) + f(-r)$ para algún número racional $r$ , y encuentre el valor posible más pequeño de $c$ .

Turbo el caracol juega un juego en un tablero con $2024$ filas y $2023$ columnas. Hay monstruos ocultos en $2022$ de las celdas. Inicialmente, Turbo no sabe dónde están los monstruos, pero sabe que hay exactamente un monstruo en cada fila excepto la primera fila y la última fila, y que cada columna contiene a lo sumo un monstruo. Turbo realiza una serie de intentos para ir desde la primera fila hasta la última fila. En cada intento, elige comenzar en cualquier celda de la primera fila, luego se mueve repetidamente a una celda adyacente que comparte un lado común. (Se le permite regresar a una celda visitada anteriormente). Si llega a una celda con un monstruo, su intento termina y es transportado de regreso a la primera fila para comenzar un nuevo intento. Los monstruos no se mueven, y Turbo recuerda si cada celda que ha visitado contiene un monstruo o no. Si llega a alguna celda en la última fila, su intento termina y el juego termina. Determine el valor mínimo de $n$ para el cual Turbo tiene una estrategia que garantiza llegar a la última fila en el $n$ - ésimo intento o antes, independientemente de la ubicación de los monstruos.