La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 12:20 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El punto $P$ está en el interior de un triángulo equilátero con longitud de lado $10$ de tal manera que las distancias desde $P$ a dos de los lados son $1$ y $3$. Encuentre la distancia desde $P$ al tercer lado. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. shobber 3498 publicaciones shobber #1 h 28 de junio de 2006, 9:26 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Llamamos a un número perfecto si la suma de sus divisores enteros positivos (incluyendo $1$ y $n$) es igual a $2n$. Determine todos los números perfectos $n$ para los cuales $n-1$ y $n+1$ son números primos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:29 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pedro debe elegir dos fracciones irreducibles, cada una con numerador y denominador positivos, tales que: La suma de las fracciones sea igual a $2$. La suma de los numeradores de las fracciones sea igual a $1000$. ¿De cuántas maneras puede Pedro hacer esto? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de nov. de 2015, 8:30 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En una línea, se marcan $44$ puntos numerados $1, 2, 3,…,44$ de izquierda a derecha. Varios grillos saltan a lo largo de la línea. Cada uno comienza en el punto $1$, saltando sobre los puntos marcados y terminando en el punto $44$. Además, cada grillo salta de un punto marcado a otro punto marcado con un número mayor. Cuando todos los grillos han terminado de saltar, resulta que para cada par $i, j$ con ${1}\leq{i}<{j}\leq{44}$, hubo un grillo que saltó directamente del punto $i$ al punto $j$, sin visitar ninguno de los puntos intermedios entre ambos. Determine el número mínimo de grillos para que esto sea posible. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:31 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Definamos el corte de un polígono convexo de $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. En otras palabras, se elimina el triángulo $MBN$ y se obtiene un polígono convexo de $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$. $P_6$ se corta y se obtiene el polígono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$, y así sucesivamente. Demuestre que, independientemente de cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $2/3$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:19 PM Y por Demuestre que, para cualesquiera números reales positivos $a,b$ tales que $a+b=1$, se cumple $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+ab\ge \frac54$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 3 de noviembre de 2025, 5:16 PM Razón: título Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. a1267ab 231 publicaciones a1267ab #1 h 8 de junio de 2020, 8:33 PM • 4 Y Y por Wizard_32, Deadline, OronSH, mxsail Determine todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen un entero positivo $m$ y un conjunto $S$ de enteros positivos tales que cualquier entero $n > m$ pueda escribirse como una suma de elementos distintos de $S$ de exactamente $k$ maneras. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:17 PM Y por Considere el rectángulo $ABCD$ y un punto $E$ en su diagonal $AC$ tal que $\angle BEC=90^o$. Si el punto $M$ es el punto medio del lado $CD$ y el punto $N$ es el punto medio del segmento $AE$, demuestre que $\angle BNM=90^o$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:26 PM Y por El cuadrado $AB\Gamma\Delta$ de la figura está subdividido por el segmento $EZ$ en dos rectángulos $ABZE$ y $EZ\Gamma\Delta$ . Dado que $AE> E\Delta$ . Las longitudes de todos los lados de los dos rectángulos son enteros positivos. Si la diferencia de las áreas de los dos rectángulos es $24$ , encuentre el área del cuadrado $AB\Gamma\Delta$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/3/9307746797b6aba34f2ea30ba5741b0b66d172.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 3 de noviembre de 2025, 4:27 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 22 de sep. de 2020, 6:36 p. m. Y por Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con $CD= DE$ y $\angle EDC \ne 2 \cdot \angle ADB$. Suponga que un punto $P$ se encuentra en el interior del pentágono tal que $AP =AE$ y $BP= BC$. Demuestre que $P$ yace sobre la diagonal $CE$ si y solo si área $(BCD)$ + área $(ADE)$ = área $(ABD)$ + área $(ABP)$. (Hungría) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 22 de sep. de 2020, 6:36 p. m. Z K Y