Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC < BC$ . Sean $I$ e $\omega$ el incentro y el incírculo del triángulo $ABC$ , respectivamente. Sea $X$ el punto en la línea $BC$ diferente de $C$ tal que la línea que pasa por $X$ paralela a $AC$ es tangente a $\omega$ . Similarmente, sea $Y$ el punto en la línea $BC$ diferente de $B$ tal que la línea que pasa por $Y$ paralela a $AB$ es tangente a $\omega$ . Sea $AI$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $P \ne A$ . Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que $\angle KIL + \angle YPX = 180^{\circ}$ .

Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una secuencia infinita de enteros positivos, y sea $N$ un entero positivo. Suponga que, para cada $n > N$ , $a_n$ es igual al número de veces que $a_{n-1}$ aparece en la lista $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ . Demuestre que al menos una de las secuencias $a_1, a_3, a_5, \dots$ y $a_2, a_4, a_6, \dots$ es eventualmente periódica. (Una secuencia infinita $b_1, b_2, b_3, \dots$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p} = b_m$ para todo $m \ge M$ . )

Determinar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que $$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$$ se cumple para todos los enteros $n\geqslant N.$ (Note que $\gcd(x, y)$ denota el máximo común divisor de los enteros $x$ e $y.$ )

Determinar todos los números reales $\alpha$ tales que, para cada entero positivo $n,$ el entero $$\lfloor\alpha\rfloor +\lfloor 2\alpha\rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha\rfloor$$ es un múltiplo de $n.$ (Note que $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z.$ Por ejemplo, $\lfloor -\pi\rfloor =-4$ y $\lfloor 2\rfloor= \lfloor 2.9\rfloor =2.$ )

Una secuencia $a_1, a_2, a_3, \ldots$ de enteros positivos satisface $a_1 > 5$ y $a_{n+1} = 5 + 6 + \cdots + a_n$ para todo entero positivo $n$ . Determine todos los números primos $p$ tales que, independientemente del valor de $a_1$ , esta secuencia debe contener un múltiplo de $p$ .

Un cuadrilátero cíclico $ABXC$ tiene circuncentro $O$ . Sea $D$ un punto en la línea $BX$ tal que $AD = BD$ . Sea $E$ un punto en la línea $CX$ tal que $AE = CE$ . Demuestra que el circuncentro del triángulo $\triangle DEX$ se encuentra en la bisectriz perpendicular de $OA$ .

Se colocan guijarros en las casillas de un tablero de $2021\times 2021$ de tal manera que cada casilla contiene como máximo un guijarro. El conjunto de guijarros de una casilla del tablero es la colección de todos los guijarros que están en la misma fila o columna que esta casilla. (Un guijarro pertenece al conjunto de guijarros de la casilla en la que se coloca). ¿Cuál es el menor número posible de guijarros en el tablero si no hay dos casillas que tengan el mismo conjunto de guijarros?

(a) Demuestra que para todo $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a + b + c + d = 0$ , \[ \max(a, b) + \max(a, c) + \max(a, d) + \max(b, c) + \max(b, d) + \max(c, d) \geqslant 0. \] (b) Encuentra el entero no negativo más grande $k$ tal que es posible reemplazar $k$ de los seis máximos en esta desigualdad por mínimos de tal manera que la desigualdad aún se cumpla para todo $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ con $a + b + c + d = 0$ .

En la pizarra están escritos $100$ números reales positivos mutuamente diferentes, tales que para cualesquiera tres números diferentes $a, b, c$, $a^2 + bc$ es un entero. Demuestra que para cualesquiera dos números $x, y$ de la pizarra, el número $\frac{x}{y}$ es racional.

En cada cuadrado de la tabla cuadrada de $100\times 100$, escribe $1, 2$ o $3$. Considera todas las subtablas $m \times n$, donde $m = 2$ y $n = 2$. Una subtabla se llamará equilibrada si tiene en sus cajas de esquina de cuatro cajas de números idénticos. Para un número $k$ tan grande, demuestra que siempre podemos encontrar $k$ subtablas equilibradas, de las cuales ninguna se superpone, es decir, no tienen una caja común.