Bolek dibuja un trapecio $ABCD$ ( $AB // CD$ ) en la pizarra, con su línea media $EF$. El punto de intersección de su diagonal $AC, BD$ se denota por $P$, y su proyección rectangular en la línea $AB$ se denota por $Q$. Lolek, queriendo molestar a Bolek, borró todo de la pizarra excepto los segmentos $EF$ y $PQ$. Cuando Bolek lo vio, quiso completar el dibujo y dibujar el trapecio original, pero no sabía cómo hacerlo. ¿Puedes ayudar a Bolek?

¿Cuántos números de $8$ dígitos son $*2*0*1*7$, donde cuatro números desconocidos son reemplazados por estrellas, que son divisibles por $7$?

Decide si existe un hexágono convexo con todos los lados mayores que $1$ y todas sus nueve diagonales son menores que $2$ en longitud.

Decide si existen primos $p, q, r$ tales que $(p^2 + p) (q^2 + q) (r^2 + r)$ es un cuadrado de un entero.

Cada campo de la tabla $(mn + 1) \times (mn + 1)$ contiene un número real del intervalo $[0, 1]$. La suma de los números en cada sección cuadrada de la tabla con dimensiones $n x n$ es igual a $n$. Determina qué tan grande puede ser la suma de todos los números en la tabla.

Dado un triángulo rectángulo $ABC$ con perímetro $2$, con $\angle B=90^o$. El punto $S$ es el centro del excírculo al lado $AB$ del triángulo y $H$ es la intersección de las alturas del triángulo $ABS$. Determina la longitud posible más pequeña del segmento $HS$.

Demuestra que para todos los números reales $x, y$ se cumple $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 2(xy - 1)(x + y)$. ¿Para qué enteros $x, y$ se cumple la igualdad?

Dado un triángulo $ABC$, con $| AB | + | AC | = 3 \cdot | BC |$. Denotemos $D, E$ también puntos tales que $BCDA$ y $CBEA$ son paralelogramos. En los lados $AC$ y $AB$, se seleccionan $F$ y $G$ respectivamente de modo que $| AF | = | AG | = | BC |$. Demuestra que las líneas $DF$ y $EG$ se intersecan en el segmento de línea $BC$.

Encuentra el entero más grande $n \ge 3$ para el cual existe un número de $n$ dígitos $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ con dígitos no nulos $a_1, a_2$ y $a_n$, que es divisible por $\overline{a_2a_3...a_n}$.

Sea $d(n)$ la suma de los divisores enteros positivos del número $n$ y $\phi(n)$ la cantidad de enteros en el intervalo $[0,n]$ tales que estos enteros son coprimos con $n$ . Por ejemplo $d(6)=12$ y $\phi(7)=6$ . Determinar si el conjunto de los enteros $n$ tales que $d(n)\cdot \phi (n)$ es un cuadrado perfecto, es un conjunto finito o infinito.