La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de nov. de 2015, 8:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Sean $\omega_a, \omega_b$ y $\omega_c$ los circuncírculos de los triángulos $EAF, DBF$ y $DCE$ , respectivamente. Las rectas $DE$ y $DF$ cortan a $\omega_a$ en $E_a\neq{E}$ y $F_a\neq{F}$ , respectivamente. Sea $r_A$ la recta $E_{a}F_a$ . Sean $r_B$ y $r_C$ definidas de manera análoga. Demuestre que las rectas $r_A$ , $r_B$ y $r_C$ determinan un triángulo con sus vértices sobre los lados del triángulo $ABC$ . Z K Y

Determine si existe una sucesión infinita $a_0, a_1, a_2, a_3,...$ de enteros no negativos que satisfaga las siguientes condiciones: (i) Todos los enteros no negativos aparecen en la sucesión exactamente una vez. (ii) La sucesión $b_n=a_{n}+n$, $n\geq0$, está formada por todos los números primos y cada uno aparece exactamente una vez.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:29 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pedro debe elegir dos fracciones irreducibles, cada una con numerador y denominador positivos, tales que: La suma de las fracciones sea igual a $2$. La suma de los numeradores de las fracciones sea igual a $1000$. ¿De cuántas maneras puede Pedro hacer esto? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:31 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Definamos el corte de un polígono convexo de $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. En otras palabras, se elimina el triángulo $MBN$ y se obtiene un polígono convexo de $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$. $P_6$ se corta y se obtiene el polígono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$, y así sucesivamente. Demuestre que, independientemente de cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $2/3$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Leicich 234 publicaciones Leicich #1 h 30 de agosto de 2014, 4:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pablo y Silvia juegan en un tablero de $2010 \times 2010$. Para comenzar el juego, Pablo escribe un entero en cada casilla. Una vez que termina, Silvia repite la siguiente operación tantas veces como desee: elige tres casillas que forman una $L$, como en la figura a continuación, y suma $1$ a cada uno de los números en estas tres casillas. Silvia gana si, después de realizar la operación muchas veces, todos los números en el tablero son múltiplos de $10$. Demuestre que Silvia siempre puede ganar. $\begin{array}{|c|c} \cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \cline{2-2} \; & \; \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c} \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \cline{1-1} \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \cline{2-2} \end{array}$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de oct. de 2025, 1:10 p. m. Y por Sean $a, b, c$ las alturas del triángulo $A$. a) Sea $r > 0$ un número real. Demuestre que existe un triángulo $A$ con área $\frac12$ y $abc < r$. b) Demuestre que para todos los triángulos $A$ con área $\frac12$, es cierto que $abc < 1$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 5 de dic. de 2025, 1:17 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:19 PM Y por Demuestre que, para cualesquiera números reales positivos $a,b$ tales que $a+b=1$, se cumple $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+ab\ge \frac54$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 3 de noviembre de 2025, 5:16 PM Razón: título Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:17 PM Y por Considere el rectángulo $ABCD$ y un punto $E$ en su diagonal $AC$ tal que $\angle BEC=90^o$. Si el punto $M$ es el punto medio del lado $CD$ y el punto $N$ es el punto medio del segmento $AE$, demuestre que $\angle BNM=90^o$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 7:50 a. m. • 3 Y Y por parola, Adventure10, Mango247 Los círculos $S_1$ y $S_2$ se cortan en los puntos $P$ y $Q$. Se eligen puntos distintos $A_1$ y $B_1$ (que no sean $P$ ni $Q$) en $S_1$. Las rectas $A_1P$ y $B_1P$ cortan a $S_2$ nuevamente en $A_2$ y $B_2$ respectivamente, y las rectas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se cortan en $C$. Demuestre que, a medida que $A_1$ y $B_1$ varían, los circuncentros de los triángulos $A_1A_2C$ yacen todos sobre un círculo fijo. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 24 de oct. de 2004, 7:16 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de octubre de 2025, 1:15 PM Y por Encuentre todas las funciones que satisfacen la condición para todos los números reales $x$ , $y$ $$f(y \cdot f(x))= \dfrac{y+1}{y} - \dfrac{1}{y(x+1)}$$ tales que $y \ne 0$ , $x \ne 0$ , y $x \ne -1$ . Z K Y