Una forma es la unión de rectángulos cuadrados cuyas bases son segmentos unitarios consecutivos en una línea horizontal que deja todos los rectángulos en el mismo lado, y cuyas alturas $m_1, ... , m_n$ satisfacen $m_1\ge ... \ge m_n$ . Un ángulo en una forma consiste en una caja $v$ y de todas las cajas a la derecha de $v$ y todas las cajas arriba de $v$ . El tamaño de una forma de un ángulo es el número de cajas que contiene. Hallar el número máximo de ángulos de tamaño $11$ en una forma de tamaño $400$ .

Consideramos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos que se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . Sean $A , B$ y $C$ puntos en el círculo $\Gamma_1$ y $D , E$ y $F$ puntos en el círculo $\Gamma_2$ de modo que las líneas $A E$ y $B D$ se intersecan en $P$ y las líneas $A F$ y $C D$ se intersecan en $Q$ . Denotamos $M$ y $N$ las intersecciones de las líneas $A B$ y $D E$ y de las líneas $A C$ y $D F$ , respectivamente. Demostrar que $A M D N$ es un paralelogramo.

Sea $M$ un mapa hecho de varias ciudades unidas entre sí por vuelos. Decimos que hay una ruta entre dos ciudades si hay un vuelo directo que une estas dos ciudades. Para cada ciudad de $M$ denotamos por $M_a$ el mapa formado por las ciudades que tienen una ruta hacia y rutas que unen estas ciudades entre sí (para no formar parte de $M_a$). Las ciudades de $M_a$ se dividen en dos conjuntos de modo que el número de rutas que unen ciudades de diferentes conjuntos sea máximo; llamamos a este número el corte de $M_a$ . Suponga que para cada corte de $M_a$ , es estrictamente menor que dos tercios del número de rutas de $M_a$ . Demostrar que para cualquier coloración de las rutas de $M$ con dos colores hay tres ciudades de $M$ unidas por tres rutas del mismo color.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de las líneas $BH$ y $CH$ con $AC$ y $AB$ respectivamente, y sea $D$ la intersección de las líneas $EF$ y $BC$ . Sea $\Gamma_1$ la circunferencia circunscrita a $AEF$ , y $\Gamma_2$ la circunferencia circunscrita a $BHC$ . La línea $AD$ interseca a $\Gamma_1$ en el punto $I \neq A$ . Sea $J$ el pie de la bisectriz interna de $\angle{BHC}$ y $M$ el punto medio del arco $\stackrel{\frown}{BC}$ de $\Gamma_2$ que contiene el punto $H$ . La línea $MJ$ interseca a $\Gamma_2$ en el punto $N \neq M$ . Demostrar que los triángulos $EIF$ y $CNB$ son similares.

Dado un entero positivo $n$ , una operación consiste en reemplazar $n$ con $2n-1$ , $3n-2$ o $5n-4$ . Se dice que un número $b$ es un seguidor de un número $a$ si $b$ puede obtenerse de $a$ usando esta operación múltiples veces. Hallar todos los enteros positivos $a < 2011$ que tienen un seguidor común con $2011$ .

Sean $D$, $E$, $F$ los puntos medios de los arcos $BC$, $CA$, $AB$ en la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contienen los puntos $A$, $B$, $C$, respectivamente. Sea la línea $DE$ que se encuentra con $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$, y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$. Sea la línea $FD$ que se encuentra con $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$, y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$. a) Encuentra los ángulos del triángulo $DMN$; b) Demuestra que si $P$ es el punto de intersección de las líneas $AD$ y $EF$, entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$.

Paralelas a los lados de un triángulo que pasan por un punto interior dividen el interior de un triángulo en $6$ partes con las áreas marcadas como en la figura. Muestra que $\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge \frac{3}{2}$

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$. Un semicírculo de diámetro $[EF]$ con $E, F \in [BC]$, es tangente a los lados $AB, AC$ en $M, N$ respectivamente y $AE$ interseca el semicírculo en $P$. Demuestra que $PF$ pasa por el punto medio de $[MN]$.

Tres círculos iguales tienen un punto común $M$ y se intersecan en pares en los puntos $A, B, C$ . Demuestra que $M$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ .

Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ , y $A'$ el simétrico de $A$ con respecto a $C$ . Demuestra que $G, B, C, A'$ son concíclicos si y sólo si $GA \perp GC$ .