4 $S,T$ son dos árboles sin vértices de grado 2. A cada arista se le asocia un número positivo llamado longitud de esta arista. La distancia entre dos vértices arbitrarios $v,w$ en este grafo se define como la suma de las longitudes de todas las aristas en el camino entre $v$ y $w$ . Sea $f$ una función biyectiva de las hojas de $S$ a las hojas de $T$ , tal que para cada dos hojas $u,v$ de $S$ , la distancia de $u,v$ en $S$ es igual a la distancia de $f(u), f(v)$ en $T$ . Demuestre que hay una función biyectiva $g$ de los vértices de $S$ a los vértices de $T$ tal que para cada dos vértices $u,v$ de $S$ , la distancia de $u,v$ en $S$ es igual a la distancia de $g(u)$ y $g(v)$ en $T$ . Omid

5 Las circunferencias $W_1,W_2$ se intersecan en $P,K$ . $XY$ es la tangente común de las dos circunferencias que está más cerca de $P$ , $X$ está en $W_1$ y $Y$ está en $W_2$ . $XP$ interseca a $W_2$ por segunda vez en $C$ y $YP$ interseca a $W_1$ en $B$ . Sea $A$ el punto de intersección de $BX$ y $CY$ . Demuestre que si $Q$ es el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $ABC$ y $AXY$ \[\angle QXA=\angle QKP\] Omid

6 Sea $M$ un punto arbitrario sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ . $W$ es una circunferencia que es tangente a $AB$ y $BM$ en $T$ y $K$ y es tangente a la circunferencia circunscrita de $AMC$ en $P$ . Demuestre que si $TK||AM$ , las circunferencias circunscritas de $APT$ y $KPC$ son tangentes entre sí. Omid

7 Sin levantar el lápiz del papel, dibujamos un polígono de tal manera que de cada dos lados adyacentes uno de ellos sea vertical. Además, al dibujar el polígono todos los lados verticales se han dibujado de arriba hacia abajo. Demuestre que este polígono se interseca a sí mismo. Omid

8 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC>AB=AC$ . $D,M$ son respectivamente los puntos medios de $BC, AB$ . $X$ es un punto tal que $BX\perp AC$ y $XD||AB$ . $BX$ y $AD$ se cortan en $H$ . Si $P$ es el punto de intersección de $DX$ y la circunferencia circunscrita de $AHX$ (distinto de $X$ ) , demuestre que la tangente trazada desde $A$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $AMP$ es paralela a $BC$ . Omid

9 Una sucesión de números reales $a_0,a_1,\dots,a_{1389}$ se llama cóncava si para cada $0<i<1389$ , $a_i\geq\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}2$ . Halle el mayor $c$ tal que para toda sucesión cóncava de números reales no negativos: \[\sum_{i=0}^{1389}ia_i^2\geq c\sum_{i=0}^{1389}a_i^2\] Omid

10 En cada cuadrado de $1\times1$ de una tabla de $m\times n$ hemos dibujado una de las dos diagonales. Demuestre que hay un camino que incluye estas diagonales ya sea del lado izquierdo al lado derecho, o del lado superior al lado inferior. Omid

11 Sean $O, H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ . $M,N$ son los puntos medios de $BH$ y $CH$ . $BB'$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita. Si $HONM$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que $B'N=\frac12AC$ . Omid

2 Sea $ a$ un número natural fijo . Demuestre que el conjunto de divisores primos de $ 2^{2^{n}} + a$ para $ n = 1,2,\cdots$ es infinito

3 Suponga que $ a$ , $ b$ , $ c$ son tres números reales positivos tales que $ a+b+c=3$ . Demuestre que : $ \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}} \leq \frac{3}{4}$