Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2015 Problema 2
2 Como se muestra en la figura, una circunferencia de radio $1$ pasa por el vértice $A$ de $\vartriangle ABC$ y es tangente al lado $BC$ en el punto $D$ , e interseca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Además, $EF$ biseca a $\angle AFD$ y $\angle ADC = 80^o$ . ¿Existe un triángulo que satisfaga la condición, de modo que $\frac{AB+BC+CA}{AD^2}$ sea un número irracional, y que dicho número irracional sea raíz de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros? Si no existe, demuéstrelo; si existe, halle la ecuación cuadrática que satisface la condición. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/9/9e3b955b6d6df35832dd0c0a2d1d2a1e1cce94.png
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2015 Problema 3
3 Grado 10
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2015 Problema 4
4 Se sabe que $a_1, a_2,...a_{108}$ son $108$ enteros positivos distintos que no superan $2015$ . Demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que hay al menos cuatro pares distintos $(i, j) $ que satisfacen $a_i-a_j =k$ .
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2015 Problema 5
5 Grado 10
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2015 Problema 6
6 Grado 10
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2015 Problema 7
7 Use $[x]$ para representar el mayor entero que no supera a un número real $x$ . Sea $$S_n=\left[1+\frac12 +\frac13+...+\frac{1}{n}\right], \,\,\, (n =1,2,..,)$$ Demuestre que hay infinitos $n$ tales que $C_n^{S_n}$ es un número par. PD. Se adjunta el enunciado original, que omite el corchete izquierdo [ . Espero que esté bien donde lo coloqué.
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2015 Problema 8
8 La sucesión $\{a_n\}$ se define como sigue: $a_1$ es un número racional positivo, $a_n= \frac{p_n}{q_n}$ , ( $n= 1,2,…$ ) es un entero positivo, donde $p_n$ y $q_n$ son enteros positivos coprimos; entonces $a_{n+1} = \frac{p_n^2+2015}{p_nq_n}$ . ¿Existe un $_1>2015$ que haga que la sucesión $\{a_n\}$ sea una sucesión acotada? Justifique su conclusión.
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2014 Problema 1
1 Como se muestra en la figura, dado $\vartriangle ABC$ con $\angle B$ , $\angle C$ agudos, $AD \perp BC$ , $DE \perp AC$ , $M$ el punto medio de $DE$ , $AM \perp BE$ . Demuestre que $\vartriangle ABC$ es isósceles. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/8/f553c33557979f6f7b799935c3bde743edcc3c.png
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2014 Problema 2
2 Defina una sucesión de números positivos $\{a_n\}$ mediante \[a_{1}=1,(n^2+1)a^2_{n-1}=(n-1)^2a^2_{n}.\] Demuestre que \[\frac{1}{a^2_1}+\frac{1}{a^2_2}+\cdots +\frac{1}{a^2_n}\le 1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2_n}}\n.\]
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Olimpiada de Matemáticas del Norte de China 2014 Problema 4
4 En una elección hay un total de $12$ candidatos. Un comité electoral tiene $6$ miembros votantes. Se sabe que, como máximo, dos de los candidatos votados por cualesquiera dos miembros del comité son los mismos. Halle el número máximo de miembros del comité.
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