6 Un palíndromo es un número que es el mismo cuando sus dígitos se invierten. Encuentra todos los números que tienen al menos un múltiplo que sea un palíndromo.

1 Retratos de científicos famosos cuelgan en una pared. Los científicos vivieron entre 1600 y 2008, y ninguno vivió más de 80 años. Vasya multiplicó los años de nacimiento de estos científicos, y Petya multiplicó los años de su muerte. El resultado de Petya es exactamente $ 5\over 4$ veces mayor que el resultado de Vasya. ¿Cuál es el número mínimo de retratos que puede haber en la pared? Autor: V. Frank

2. ¿Es posible acomodar en un círculo todos los enteros compuestos positivos que no superan \( 10^6 \), de modo que no haya dos números vecinos que sean coprimos? Autor: L. Emelyanov, Tuymaada 2008, Liga Junior, Primer Día, Problema 2. Demuestra que todos los enteros compuestos positivos que no superan \( 10^6 \) pueden acomodarse en un círculo de modo que no haya dos números vecinos que sean coprimos.

3 100 cuadrados unitarios de un plano cuadriculado infinito forman un cuadrado de $10\times 10$. Los segmentos unitarios que forman estos cuadrados se colorean con varios colores. Se sabe que el borde de todo cuadrado con lados sobre las líneas de la cuadrícula contiene segmentos de a lo sumo dos colores. (Dicho cuadrado no está necesariamente contenido en el cuadrado original de $10\times 10$). ¿Cuál es el número máximo de colores que puede aparecer en esta coloración? Autor: S. Berlov

4 Punto $ I_1$ es el reflejo del incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ respecto al lado $ BC$ . La circunferencia circunscrita de $ BCI_1$ interseca la línea $ II_1$ nuevamente en el punto $ P$ . Se sabe que $ P$ se encuentra fuera de la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC$ . Las dos tangentes trazadas desde $ P$ a dicha circunferencia la tocan en los puntos $ X$ y $ Y$ . Demuestra que la línea $ XY$ contiene una línea media del triángulo $ ABC$ . Autor: L. Emelyanov

5 Un cargador tiene un vagón y una carretilla. El vagón puede cargar hasta 1000 kg, y la carretilla solo hasta 1 kg. En un almacén hay una cantidad finita de sacos de arena. Se sabe que su peso total es mayor que 1001 kg, mientras que cada saco pesa a lo más 1 kg. ¿Cuál es el peso máximo de arena que el cargador puede llevar en el vagón y la carretilla, sin importar los pesos particulares de los sacos? Autor: M. Ivanov, D. Rostovsky, V. Frank

6 Sea $ ABCD$ un trapecio isósceles con $ AD \parallel BC$ . Sus diagonales $ AC$ y $ BD$ se intersectan en el punto $ M$ . Los puntos $ X$ y $ Y$ sobre el segmento $ AB$ son tales que $ AX = AM$ , $ BY = BM$ . Sea $ Z$ el punto medio de $ XY$ y $ N$ el punto de intersección de los segmentos $ XD$ y $ YC$ . Demuestra que la recta $ ZN$ es paralela a las bases del trapecio. Autor: A. Akopyan, A. Myakishev

7 Un conjunto $X$ de enteros positivos se llama bonito si para cada par $a$, $b\in X$ exactamente uno de los números $a+b$ y $|a-b|$ pertenece a $X$ (los números $a$ y $b$ pueden ser iguales). Determina el número de conjuntos bonitos que contienen al número 2008. Autor: Fedor Petrov

Se eligen 250 números entre los enteros positivos que no exceden 501. Demuestra que para todo entero \( t \) hay cuatro números elegidos \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \), \( a_4 \), tales que \( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - t \) es divisible por 23. Autor: K. Kokhas

1 En un pizarrón están escritos varios números irracionales. Se sabe que para cada dos números \( a \) y \( b \) del pizarrón, al menos uno de los números \( \frac{a}{b+1} \) y \( \frac{b}{a+1} \) es racional. ¿Cuál es el número máximo de números irracionales que puede haber en el pizarrón? Autor: Alexander Golovanov