3 Sea $n$ un entero positivo. Considere el polinomio $p(x)=x^2+x+1$. ¿Cuál es el residuo de $ x^3$ al dividirlo por $x^2+x+1$? ¿Para qué valores enteros positivos de $n$ es $ x^{2n}+x^n+1$ divisible por $p(x)$? Post no: $100$

3 ¿Existe un entero positivo $n$ tal que la suma de todos los dígitos del número $n(4n+1)$ sea igual a $2017$ ?

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $k_1$ y $k_2$ círculos inscritos en los triángulos $ABC$ y $ABD$. Demuestra que la tangente común externa de esos círculos (distinta de $AB$) es paralela a $CD$.

Problema $5$ de grado

1 Es el año 2005 ahora. Según una leyenda, hay un monstruo que despierta de vez en cuando para tragarse a todos los que están resolviendo este problema, y luego vuelve a dormirse por tantos años como la suma de los dígitos de ese año. El monstruo golpeó por primera vez a AoPS en el año +234. Demuestra que estás a salvo este año, así como durante los próximos 10 años.

1. Se escriben $201$ enteros positivos en una línea, tales que tanto el primero como el último son iguales a $19999$ . Cada uno de los números restantes es menor que el promedio de sus números vecinos, y las diferencias entre cada uno de los números restantes y el promedio de sus números vecinos son todas iguales a un único entero. Halle el penúltimo término de la línea.

2. Dados varios números, se elige uno de ellos, $a$ , y se lo reemplaza por los tres números $\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3}$ . Este proceso se repite con el nuevo conjunto de números, y así sucesivamente. Originalmente hay $1000$ unos, y aplicamos el proceso varias veces. Un número $m$ se llama bueno si después de cada iteración hay $m$ o más números iguales, sin importar cuántas ni qué operaciones se realicen. Halle el mayor número bueno posible.

3. Dos circunferencias de radio $1$ que no se intersectan, $c_1$ y $c_2$ , están colocadas dentro de un ángulo cuyo vértice es $O$ . $c_1$ es tangente a uno de los rayos del ángulo, mientras que $c_2$ es tangente al otro rayo. Una de las tangentes internas comunes de $c_1$ y $c_2$ pasa por $O$ , y la otra intersecta los rayos del ángulo en los puntos $A$ y $B$ , con $AO=BO$ . Halle la distancia del punto $A$ a la recta $OB$ .

4. Considere las siguientes sumas de $50$ términos: $S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{99\cdot 100}$ , $T=\frac{1}{51\cdot 100}+\frac{1}{52\cdot 99}+...+\frac{1}{99\cdot 52}+\frac{1}{100\cdot 51}$ . Exprese $\frac{S}{T}$ como una fracción irreducible.

5. Un entero $n \geq 3$ se llama especial si no divide a $\left ( n-1 \right )!\left ( 1+\frac{1}{2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n-1} \right )$ . Halle todos los números especiales $n$ tales que $10 \leq n \leq 100$ .