G3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con sus diagonales intersectándose en $E$ . Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Suponga que $ME$ es perpendicular a $CD$ . Muestre que o bien $AC$ es perpendicular a $BD$ , o bien $AB$ es paralelo a $CD$ .

3 Sea $N$ un entero positivo. Geoff y Ceri juegan un juego en el que comienzan escribiendo los números $1, 2, \dots, N$ en un tablero. Luego se turnan para hacer un movimiento, comenzando por Geoff. Cada movimiento consiste en elegir un par de enteros $(k, n)$ , donde $k \geq 0$ y $n$ es uno de los enteros del tablero, y luego borrar todo entero $s$ del tablero tal que $2^k \mid n - s$ . El juego continúa hasta que el tablero queda vacío. El jugador que borra el último entero del tablero pierde. Determine todos los valores de $N$ para los cuales Geoff puede asegurar que gana, sin importar cómo juegue Ceri.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AC<BD<AD$ y $\angle DBA<90^\circ$ . El punto $E$ se encuentra sobre la recta que pasa por $D$ paralela a $AB$ , de modo que $E$ y $C$ están en lados opuestos de la recta $AD$ , y $AC=DE$ . El punto $F$ se encuentra sobre la recta que pasa por $A$ paralela a $CD$ , de modo que $F$ y $C$ están en lados opuestos de la recta $AD$ , y $BD=AF$ . Demuestre que las mediatrices de los segmentos $BC$ y $EF$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita de $ABCD$ . Propuesto por Mykhailo Shtandenko, Ukraine

1 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: para todos los divisores positivos $d$ de $n$ , se tiene que $d+1\mid n$ o $d+1$ es primo. KevinYang2.71

4 Halle todas las soluciones naturales de $3^{x}= 2^{x}y+1.$ N.T.TUAN

. Un número $N$ es igual al producto de $200$ números naturales distintos. Demuestre que $N$ tiene al menos $19901$ divisores naturales distintos (incluyendo $1$ y al propio $N$ ). P2. Halle todos los valores del parámetro $p$ para los cuales existen exactamente $2002$ enteros $x$ que satisfacen la desigualdad $x^{2}-\pi x+p<0$ . P3. El polinomio $P(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ tiene tres raíces reales distintas, mientras que el polinomio $P(Q(x))$ , donde $Q(x)=x^{2}+x+2003$ , no tiene raíces reales. Demuestre que $P(2003)>\frac{1}{64}$ . P4. El triángulo $ABC$ está dividido por sus medianas en seis triángulos más pequeños. Los radios de las circunferencias inscritas de cuatro de estos triángulos son iguales. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

G1 Las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $B$ y $C$ se encuentran en $D$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ se encuentra con los lados $AC$ y $AB$ nuevamente en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$ . Muestre que $AO$ es perpendicular a $EF$ .

N6 Encuentre el $2019$ -ésimo entero estrictamente positivo $n$ tal que $\binom{2n}{n}$ no es divisible por $5$ .

N5 Sea $n > 1$ un entero positivo. Demuestre que todo término de la sucesión $$ n - 1, n^n - 1, n^{n^2} - 1, n^{n^3} - 1, \dots $$ tiene un divisor primo que no divide a ninguno de los términos anteriores.

N2 Sea $k$ un entero positivo. Considere $k$ números primos no necesariamente distintos tales que su producto es diez veces su suma. ¿Cuáles son estos primos y cuál es el valor de $k$ ?