2 Si $ a$ , $ b$ y $ c$ son números reales positivos tales que $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ , demuestre la desigualdad: \[ \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)}+ \frac {b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)}+\frac {c^{5}+a^{5}}{ca(a+b)}\geq 3(ab+bc+ca)-2.\]

3 Demuestre que la ecuación $ p^{4}+q^{4}=r^{4}$ no tiene solución en el conjunto de los números primos.

4 $ n$ puntos se dan en un plano (sin que tres de ellos sean colineales). Algunos puntos están conectados y forman $ k$ segmentos. Si tres de estos segmentos no forman un triángulo (equiv. no hay tres puntos tales que cada dos de ellos estén conectados), demuestre que $ k \leq \left \lfloor \frac {n^{2}}{4}\right\rfloor$

1 Dos circunferencias con centros $ S_{1}$ y $ S_{2}$ son tangentes exteriormente en el punto $ K$ . Estas circunferencias son también tangentes interiormente a la circunferencia $ S$ en los puntos $ A_{1}$ y $ A_{2}$ , respectivamente. Denote por $ P$ uno de los puntos de intersección de $ S$ y la tangente común a $ S_{1}$ y $ S_{2}$ en $ K$ . La recta $ PA_{1}$ interseca a $ S_{1}$ en $ B_{1}$ , mientras que $ PA_{2}$ interseca a $ S_{2}$ en $ B_{2}$ . Demuestre que $ B_{1}B_{2}$ es la tangente común de las circunferencias $ S_{1}$ y $ S_{2}$ .

2 Si $ a$ , $ b$ y $ c$ son números reales positivos, demuestre la desigualdad: \[ \left(1+\frac{4a}{b+c}\right)\left(1+\frac{4b}{a+c}\right)\left(1+\frac{4c}{a+b}\right) > 25.\]

3 Halle todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ tales que $ \frac{a^{4}+a^{3}+1}{a^{2}b^{2}+ab^{2}+1}$ es un entero.

4 Una tabla rectangular de $ 9$ filas $ \times$ $ 2008$ columnas se llena con los números $ 1$ , $ 2$ , ... , $ 2008$ de tal manera que cada número aparece exactamente $ 9$ veces en la tabla y la diferencia entre dos números cualesquiera de la misma columna no es mayor que $ 3$ . ¿Cuál es el valor máximo de la suma mínima en una columna (con suma mínima)?

1 Se dan tres circunferencias $ K_{1}$ , $ K_{2}$ y $ K_{3}$ tangentes exteriormente entre sí dos a dos. Denote por $ P_{1}$ el punto de tangencia de $ K_{2}$ y $ K_{3}$ y por $ P_{2}$ el punto de tangencia de $ K_{1}$ y $ K_{3}$ . Sea $ AB$ ( $ A$ y $ B$ son distintos de los puntos de tangencia) un diámetro de la circunferencia $ K_{3}$ . La recta $ AP_{2}$ interseca a la circunferencia $ K_{1}$ (por segunda vez) en el punto $ X$ y la recta $ BP_{1}$ interseca a la circunferencia $ K_{2}$ (por segunda vez) en $ Y$ . Si $ Z$ es el punto de intersección de las rectas $ AP_{1}$ y $ BP_{2}$ , demuestre que los puntos $ X$ , $ Y$ y $ Z$ son colineales.

2 Halle todos los enteros positivos $ a$ y $ b$ tales que $ \frac{a^{4}+a^{3}+1}{a^{2}b^{2}+ab^{2}+1}$ es un entero.

2010.3 En la siguiente figura se da un hexágono regular y $L, M$ y $N$ son los puntos medios de $[AB], [CD]$ y $[EF]$ , respectivamente. Muestre que el área de la región sombreada es igual al área de la región gris. //cdn.artofproblemsolving.com/images/8/d/9/8d97376c59dba4b0a22c0523cb908cca079f3eb7.png