5 Sean $x_{1}, x_{2},\ldots,x_{1000}$ enteros, y suponga que $\displaystyle \sum_{i=1}^{1000} x_{i}^{k}$ es múltiplo de $2017$ para todo entero positivo $k \leq 672$ . Demuestre que $x_{1}, x_{2},\ldots,x_{1000}$ son todos múltiplos de $2017$ . Nota: $2017$ es un número primo.

6 Demuestre que toda sucesión aritmética infinita $a, a+d, a+2d, \ldots$ , donde $a$ y $d$ son números naturales, contiene como subsucesión una sucesión geométrica infinita $b, bq, bq^{2}, \ldots$ , donde $b$ y $q$ son números naturales.

2 Un profesor de matemáticas escribió en una pizarra un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros y dijo: "Hoy es el cumpleaños de mi hija. Si en el polinomio $P(x)$ ponemos $x=a$ , donde $a$ es la edad de mi hija, tenemos $P(a)=a$ y $P(0)=p$ , donde $p$ es un número primo tal que $p>a$ . " ¿Cuántos años tiene la hija del profesor de matemáticas?

B4 Sea $(x_1,y_1) = (0.8, 0.6)$ y sean $x_{n+1} = x_n \cos y_n - y_n \sin y_n$ y $y_{n+1}= x_n \sin y_n + y_n \cos y_n$ para $n=1,2,3,\dots$ . Para cada uno de $\lim_{n\to \infty} x_n$ y $\lim_{n \to \infty} y_n$, demuestra que el límite existe y encuéntralo, o demuestra que el límite no existe.

B5 Sea $O_n$ el vector $n$-dimensional $(0,0,\cdots, 0)$. Sea $M$ una matriz de $2n \times n$ de números complejos tal que siempre que $(z_1, z_2, \dots, z_{2n})M = O_n$, con $z_i$ complejos, no todos cero, entonces al menos uno de los $z_i$ no es real. Demuestra que para números reales arbitrarios $r_1, r_2, \dots, r_{2n}$, existen números complejos $w_1, w_2, \dots, w_n$ tales que \[ \mathrm{re}\left[ M \left( \begin{array}{c} w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{array} \right) \right] = \left( \begin{array}{c} r_1 \\ \vdots \\ r_n \end{array} \right). \] (Nota: si $C$ es una matriz de números complejos, $\mathrm{re}(C)$ es la matriz cuyas entradas son las partes reales de las entradas de $C$.)

B1 Encuentra el área de un octágono convexo que está inscrito en un círculo y tiene cuatro lados consecutivos de longitud $3$ y los cuatro lados restantes de longitud $2$. Da la respuesta en la forma $r+s\sqrt{t}$ con $r, s, t$ enteros positivos.

4 Se dan $n$ $k$ - gonos convexos en el plano que se intersecan dos a dos. Cualquiera de ellos puede transformarse en cualquier otro mediante una homotecia con coeficiente positivo. Demuestre que existe un punto en el plano que pertenece al menos a $1 +\frac{n-1}{2k}$ de estos $k$ - gonos.

$A$$n$$copy$$A$$A$$n$$copies$$A$$4$$A$$A$$0$

3 Los números racionales positivos $a$ y $b$ se escriben como fracciones decimales y cada uno tiene un período mínimo de 30 dígitos. En la representación decimal de $a-b$ , el período es de al menos $15$ . Halle el valor mínimo de $k\in\mathbb{N}$ tal que, en la representación decimal de $a+kb$ , la longitud del período sea al menos $15$ . A. Golovanov

3 Hay $n$ celdas con índices del $1$ al $n$ . Inicialmente, en cada celda hay una tarjeta con el índice correspondiente. Vasya mueve las tarjetas de modo que en la $i$ - ésima celda ahora haya una tarjeta con el número $a_i$ . Petya puede intercambiar dos tarjetas cualesquiera con números $x$ y $y$ , pero debe pagar $2|x-y|$ monedas. Demuestre que Petya puede devolver todas las tarjetas a su posición original sin pagar más de $|a_1-1|+|a_2-2|+\ldots +|a_n-n|$ monedas.