2 Suponga que $W(k,2)$ es el número más pequeño tal que si $n\ge W(k,2)$ , para cada coloración del conjunto $\{1,2,...,n\}$ con dos colores existe una progresión aritmética monocromática de longitud $k$ . Demuestre que $W(k,2)=\Omega (2^{\frac{k}{2}})$ .

4 Demuestre que de una cuadrícula de $n\times n$ se pueden encontrar $\Omega (n^{\frac{5}{3}})$ puntos tales que no haya cuatro de ellos que sean vértices de un cuadrado con lados paralelos a las líneas de la cuadrícula. ¡Imagínese a sí mismo como Erdős (!) y adivine cuál es el mejor exponente en lugar de $\frac{5}{3}$ !

3 Si $p$ es un número primo, ¿cuál es el producto de los elementos $g$ tales que $1\le g\le p^2$ y $g$ es una raíz primitiva módulo $p$ pero no es una raíz primitiva módulo $p^2$ , módulo $p^2$ ? ( $\frac{100}{6}$ puntos)

1 Los puntos fijos $B$ y $C$ están sobre un círculo fijo $\omega$ y el punto $A$ varía sobre este círculo. Llamamos al punto medio del arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) $D$ y al ortocentro del triángulo $ABC$ , $H$ . La recta $DH$ interseca nuevamente al círculo $\omega$ en $K$ . La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $AKH$ interseca a la recta $DH$ y al círculo $\omega$ nuevamente en $L$ y $M$ , respectivamente. Demuestre que el valor de $\frac{AL}{AM}$ es constante. Propuesto por Mehdi E'tesami Fard

2 El punto de Nagel del triángulo $ABC$ se denota por $N$ . Trazamos rectas desde $B$ y $C$ hacia $N$ de modo que estas rectas intersequen a los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ , respectivamente. $M$ y $T$ son los puntos medios de los segmentos $BE$ y $CD$ , respectivamente. $P$ es el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEN$ y $CDN$ . $l_1$ y $l_2$ son las rectas perpendiculares a $PM$ y $PT$ en los puntos $M$ y $T$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $l_1$ y $l_2$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Propuesto por Nima Hamidi

3 Considere la elipse $\epsilon$ con dos focos $A$ y $B$ tal que las longitudes de su eje mayor y su eje menor son $2a$ y $2b$ , respectivamente. Desde un punto $T$ exterior a la elipse, trazamos dos rectas tangentes $TP$ y $TQ$ a la elipse $\epsilon$ . Demuestre que \[\frac{TP}{TQ}\ge \frac{b}{a}.\] Propuesto por Morteza Saghafian

4 La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ , para el cual $AB\neq AC$ , es tangente a los lados $BC,CA$ y $AB$ en los puntos $D,E$ y $F$ , respectivamente. La perpendicular desde $D$ a $EF$ interseca al lado $AB$ en $X$ , y el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEF$ y $ABC$ es $T$ . Demuestre que $TX\perp TF$ . Propuesto por Pedram Safaei

5 Dos rectas fijas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares entre sí en un punto $Y$ . Los puntos $X$ y $O$ están sobre $l_2$ y ambos están a un mismo lado de la recta $l_1$ . Trazamos el círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $OY$ . Un punto variable $Z$ está sobre la recta $l_1$ . La recta $OZ$ corta al círculo $\omega$ en $P$ . La paralela a $XP$ trazada desde $O$ interseca a $XZ$ en $S$ . Encuentre el lugar geométrico del punto $S$ . Propuesto por Nima Hamidi

1 Hemos coloreado las aristas de $K_n$ con $n-1$ colores. Llamamos a un vértice arcoíris si está conectado a todos los colores. ¿Cuántos vértices arcoíris pueden existir como máximo? Propuesto por Morteza Saghafian

2 Suponga que $s,k,t\in \mathbb N$ . Hemos coloreado cada número natural con uno de los $k$ colores, de modo que cada color se usa una infinidad de veces. Queremos elegir un subconjunto $\mathcal A$ de $\mathbb N$ tal que tenga $t$ subconjuntos disjuntos monocromáticos de $s$ elementos. ¿Cuál es el número mínimo de elementos de $A$ ? Propuesto por Navid Adham