5 Suponga que tenemos dos números naturales $x , y \le 100!$ con valores indeterminados. Demuestre que existen números naturales $m , n$ tales que los valores de $x , y$ quedan determinados de manera única a partir del valor de $\varphi(d(my))+d(\varphi(nx))$ . (Para cada número natural $n$ , $d(n)$ es el número de sus divisores positivos y $\varphi(n)$ es el número de los números menores que $n$ que son coprimos con $n$ . ) Propuesto por Mehran Talaei Shayan-TayefehIR

6 Sea $A_1A_2...A_{99}$ un $99-$ágono regular y sea el punto $A_{100}$ su centro. Halle el menor número natural posible $n$ tal que Parsa pueda colorear todos los segmentos $A_iA_j$ ( $1 \le i < j \le 100$ ) con uno de $n$ colores de modo que no haya dos segmentos del mismo color que se intersequen entre sí o compartan un vértice. Propuesto por Josef Tkadlec - República Checa Shayan-TayefehIR

7 Sean $\triangle ABC$ y $\triangle C'B'A$ dos triángulos congruentes (con este orden y orientación). Defínase el punto $M$ como el punto medio del segmento $AB$ y suponga que la prolongación de $CB'$ desde $B'$ pasa por $M$ ; si $F$ es un punto del arco menor $MC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle BMC$ tal que $\angle FB'A=90$ y $\angle C'CB' \neq 90$ , entonces demuestre que $\angle B'C'C=\angle CAF$ . Propuesto por Alireza Dadgarnia Shayan-TayefehIR

2 En un triángulo acutángulo $ABC$, las alturas $BE,CF$ se cortan en $H$. Se traza una recta perpendicular desde $H$ a $EF$ que corta al arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ (el que no contiene a $A$) en $K$. Si $AK,BC$ se cortan en $P$, demuestre que $PK=PH$.

8 Halle todas las funciones $f : \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{Q}[x]$ tales que se cumplen las dos condiciones siguientes : $$\forall P , Q \in \mathbb{Q}[x] : f(P+Q)=f(P)+f(Q)$$ $$\forall P \in \mathbb{Q}[x] : gcd(P , f(P))=1 \iff$$ $P$ es libre de cuadrados. Un polinomio libre de cuadrados con coeficientes racionales es un polinomio tal que no existe el cuadrado de un polinomio no constante con coeficientes racionales que lo divida. Propuesto por Sina Azizedin Shayan-TayefehIR

9 Demuestre que para cualesquiera números naturales $a , b , c$ con $b>a>1$ y $gcd(c,ab)=1$ , existe un número natural $n$ tal que : $$c | \binom{b^n}{a^n}$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

10 Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números naturales tal que cada número primo mayor que $1402$ divide a algún miembro de esa sucesión. Demuestre que el conjunto de los divisores primos de los miembros de la sucesión $\{b_n\}$ , donde $b_n=a_1a_2...a_n-1$ , es infinito. Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

11 Sean $n<k$ dos números naturales y suponga que Sepehr tiene $n$ elementos químicos , $2k$ gramos de cada uno , divididos de manera arbitraria en $2k$ vasos. Halle el menor número $b$ tal que siempre sea posible para Sepehr elegir $b$ vasos que contengan en total al menos $2$ gramos de cada elemento. Propuesto por Josef Tkadlec & Morteza Saghafian Shayan-TayefehIR

2 En un país con $n$ ciudades, todos los vuelos directos son de doble sentido (ida y vuelta). Hay $r>2014$ rutas entre distintos pares de ciudades, que incluyen a lo sumo una escala intermedia (la dirección de cada ruta importa). Halle el mínimo valor posible de $n$ y el mínimo $r$ posible para ese valor de $n$ .

12 Para un triángulo $\triangle ABC$ con un ángulo obtuso $\angle A$ , sean $E , F$ los pies de las alturas trazadas desde $B , C$ sobre los lados $AC , AB$ respectivamente. Las tangentes desde $B , C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ cortan a la recta $EF$ en los puntos $K , L$ respectivamente, y sabemos que $\angle CLB=135$ . El punto $R$ está sobre el segmento $BK$ de modo que $KR=KL$ , y sea $S$ un punto de la recta $BK$ tal que $K$ está entre $B , S$ y $\angle BLS=135$ . Demuestre que la circunferencia con diámetro $RS$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ . Propuesto por Mehran Talaei Shayan-TayefehIR