1 Sea $ O $ el centro de la circunferencia excrita en A del triángulo $ ABC $ , tangente al lado $ BC $ . Sea $ M $ el punto medio de $ AC $ y sea $ P $ el punto de intersección de $ MO $ y $ BC $ . Demuestre que $ AB = BP $ si $ \angle BAC = 2 \angle ACB $ .

3 Sea $A = (a_1, a_2, \ldots, a_{2001})$ una sucesión de enteros positivos. Sea $m$ el número de subsucesiones de 3 elementos $(a_i,a_j,a_k)$ con $1 \leq i < j < k \leq 2001$ , tales que $a_j = a_i + 1$ y $a_k = a_j + 1$ . Considerando todas las sucesiones $A$ de este tipo, halle el mayor valor de $m$ .

7 Demuestre que para cualesquiera enteros $ n> m> 0 $ el número $ 2 ^n-1 $ tiene un divisor primo que no divide a $ 2 ^m-1 $ .

2010.1.1 Dado un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita del triángulo ABC. Las rectas $AI$ y $BI$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $A_1$ y $B_1$. Las rectas $A_1B_1$ y $CI$ se intersecan en el punto $C_1$. Sea $S$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $IA_1C_1$. Las rectas $SC_1$ y $BI$ intersecan el lado $AC$ en los puntos $D$ y $E$. Calcula las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$ si $|CD| = |DE|$ y $\angle CBA = 2\angle ACB$.

3 Un tablero de Batalla Naval tiene la forma de una cuadrícula de $8\times8$ . Se pueden colocar detectores en celdas de la cuadrícula, cada uno de los cuales indica si un barco cubre esa celda. Después, se coloca en el tablero un barco de tamaño $1\times4$ . ¿Cuál es el número mínimo de celdas que deben equiparse con detectores para que la posición del barco pueda determinarse de manera única a partir de sus lecturas?

6 Halle todos los polinomios $ P (x) $ con coeficientes reales que satisfacen la identidad $ P (x ^ 2) = P (x) P (x + 1) $ .

1 Resuelva en los números reales $ x,y\in R$ $x^5-y^5=x^3-y^3=x-y$

3 En la circunferencia con centro $ O $ está inscrito un cuadrilátero $ ABCD $ , distinto de un trapecio. Sea $ M $ el punto de intersección de las diagonales, $ K $ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ BMC $ y $ DMA $ , y $ L $ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ AMB $ y $ CMD $ , donde $ K $ , $ L $ y $ M $ son puntos distintos. Demuestre que alrededor del cuadrilátero $ OLMK $ se puede circunscribir una circunferencia.

4 Demuestre que para todos los números reales positivos $a, b, c$ que satisfacen $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ , se cumple la desigualdad \[\frac{a^{2}+bc}{a+b}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{c+a}\geqslant9\] .

5 Halle todos los polinomios $p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{0}\, (a_{0}\neq0)$ con coeficientes enteros tales que para todo $i=0, 1, \ldots, n-1$ se tenga $p(a_{i})=0$ y, además, $p(x) = (x-a_{0})(x-a_{1})\cdots(x-a_{n-1})$ .