4 Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xyz=1$. Demuestra que $\frac{1}{(x+1)^2+y^2+1}$ $+$ $\frac{1}{(y+1)^2+z^2+1}$ $+$ $\frac{1}{(z+1)^2+x^2+1}$ $\leq$ ${\frac{1}{2}}$ .

5 Sea $ABCD$ un trapecio tal que los lados $AB$ y $CD$ son paralelos y el lado $AB$ es más largo que el lado $CD$. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $AB$ y $BC$ respectivamente, tales que cada uno de los segmentos $CM$ y $AN$ divide al trapecio en dos partes de igual área. Demuestra que el segmento $MN$ interseca al segmento $BD$ en su punto medio.

6 Considera una cuadrícula de $n\times n$ formada por $n^2$ cuadrados unitarios. Definimos el centro de un cuadrado unitario como la intersección de sus diagonales. Encuentra el menor entero $m$ tal que, al elegir cualesquiera $m$ cuadrados unitarios de la cuadrícula, siempre obtengamos cuatro cuadrados unitarios entre ellos cuyos centros sean vértices de un paralelogramo.

2011.5 En la siguiente figura, $AB = AC$, $D$ y $E$ son los pies de las perpendiculares a $AC$ y $AB$, respectivamente, que pasan por el punto $P$. Sabiendo que $PE = 2$ y $PD = 8$, determina la altura del triángulo $[ABC]$ relativa al lado $[AC]$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/0/0680acb0009deeee883302ec9ea78740680e97.png

2012.2 Siete cerillos idénticos se acomodaron como se muestra en la siguiente figura. Determina la medida de $\angle A$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/0/0fb5674de3534e9052db511788287eae6d90d4.png

2012.5 En el triángulo $[ABC]$, el punto $P \in [AB]$ es tal que $AP = 4PB$. La mediatriz de $[PB]$ interseca el lado $[BC]$ en el punto $Q$. Sabiendo que el área de $[PQC]$ es $4$, el área de $[ABC]$ es $25$ y $AC = \ell$, calcula $BC$.

Se dan enteros positivos $a$, $b$, $c$. Se sabe que $\frac{c}{b}=\frac{b}{a}$, y el número $b^2-a-c+1$ es primo. Demuestra que $a$ y $c$ son el doble de cuadrados de enteros positivos.

1 Ali quiere moverse del punto $A$ al punto $B$. No puede caminar dentro de las áreas negras, pero es libre de moverse en cualquier dirección dentro de las áreas blancas (no solo por las líneas de la cuadrícula, sino por todo el plano). Ayuda a Ali a encontrar el camino más corto entre $A$ y $B$. Solo dibuja el camino y escribe su longitud.

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con estas propiedades: $\angle ADC = 135^o$ y $\angle ADB - \angle ABD = 2\angle DAB = 4\angle CBD$. Si $BC = \sqrt2 CD$, demuestra que $AB = BC + AD$. por Mahdi Etesami Fard

1 Sean $\alpha,\beta,\gamma$ las medidas de los ángulos opuestos a los lados de medidas $a,b,c$ respectivamente. Demuestra que $$2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$$