4 Consideremos un poliedro convexo $P$ con vértices $V_1,\ldots ,V_p$ . Los vértices distintos $V_i$ y $V_j$ se llaman vecinos si pertenecen a la misma cara del poliedro. A cada vértice $V_k$ le asignamos un número $v_k(0)$ , y construimos inductivamente la sucesión $v_k(n)\ (n\ge 0)$ como sigue: $v_k(n+1)$ es el promedio de los $v_j(n)$ para todos los vecinos $V_j$ de $V_k$ . Si todos los números $v_k(n)$ son enteros, demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que todos los $v_k(n)$ son iguales para $n\ge N$ .

3 Sea $\gamma$ la circunferencia inscrita en el triángulo $A_0A_1A_2$ . Para todo $i\in\{0,1,2\}$ realizamos las siguientes construcciones (todos los índices se consideran módulo 3): $\gamma_i$ es la circunferencia tangente a $\gamma$ que pasa por los puntos $A_{i+1}$ y $A_{i+2}$ ; $T_i$ es el punto de tangencia entre $\gamma_i$ y $\gamma$ ; finalmente, la tangente común en $T_i$ a $\gamma_i$ y $\gamma$ interseca la recta $A_{i+1}A_{i+2}$ en el punto $P_i$ . Demuestre que a) los puntos $P_0$ , $P_1$ y $P_2$ son colineales; b) las rectas $A_0T_0$ , $A_1T_1$ y $A_2T_2$ son concurrentes. Valentin

4 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$ . Demuestre que: \[ \frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac 1{c^2} \geq a^2+b^2+c^2. \]

1 Sean $r$ y $s$ dos números racionales. Halle todas las funciones $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$ tales que para todo $x,y\in\mathbb Q$ se tiene \[ f(x+f(y)) = f(x+r)+y+s. \] Valentin

2 Halle todos los enteros no negativos $m,n,p,q$ tales que \[ p^mq^n = (p+q)^2 +1 . \] Valentin

3 Sea $n>1$ un entero. Un conjunto $S \subset \{ 0,1,2, \ldots, 4n-1\}$ se llama raro si, para cualquier $k\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ , las siguientes dos condiciones se cumplen al mismo tiempo (1) el conjunto $S\cap \{4k-2,4k-1,4k, 4k+1, 4k+2 \}$ tiene a lo sumo dos elementos; (2) el conjunto $S\cap \{4k+1,4k+2,4k+3\}$ tiene a lo sumo un elemento. Demuestre que el conjunto $\{0,1,2,\ldots,4n-1\}$ tiene exactamente $8 \cdot 7^{n-1}$ subconjuntos raros. Valentin

4 Sean $p$ , $q$ dos enteros, $q\geq p\geq 0$ . Sea $n \geq 2$ un entero y sean $a_0=0, a_1 \geq 0, a_2, \ldots, a_{n-1},a_n = 1$ números reales tales que \[ a_{k} \leq \frac{ a_{k-1} + a_{k+1} } 2 , \ \forall \ k=1,2,\ldots, n-1 . \] Demuestre que \[ (p+1) \sum_{k=1}^{n-1} a_k^p \geq (q+1) \sum_{k=1}^{n-1} a_k^q . \] Valentin

1 Sea $n$ un entero positivo de la forma $4k+1$ , $k\in \mathbb N$ y $A = \{ a^2 + nb^2 \mid a,b \in \mathbb Z\}$ . Demuestre que existen enteros $x,y$ tales que $x^n+y^n \in A$ y $x+y \notin A$ . Valentin

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ y $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo. Sea $\omega_1$ la circunferencia tangente a $AD$ , $BD$ y $\omega$ . Sea $\omega_2$ la circunferencia tangente a $AD$ , $CD$ y $\omega$ . Sea $\ell$ la tangente común interior a $\omega_1$ y $\omega_2$ , distinta de $AD$ . Demuestre que $\ell$ pasa por el punto medio de $BC$ si y solo si $2BC = AB + AC$ . Valentin

2 Sean $m$ y $n$ enteros positivos y sea $S$ un subconjunto con $(2^m-1)n+1$ elementos del conjunto $\{1,2,3,\ldots, 2^mn\}$ . Demuestre que $S$ contiene $m+1$ números distintos $a_0,a_1,\ldots, a_m$ tales que $a_{k-1} \mid a_{k}$ para todo $k=1,2,\ldots, m$ . Valentin