3 Sea $D$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$. Si la circunferencia circunscrita del triángulo $ADB$ interseca a $AC$ (o su extensión) en $M$ y también a $BC$ (o su extensión) en $N$, demuestra que los radios de las circunferencias circunscritas de $\triangle ADB$ y $\triangle MNC$ son iguales.

4 En el planeta Marte hay $100$ estados que están en disputa. Para lograr una situación de paz, se deben formar bloques que cumplan las siguientes dos condiciones: (1) Cada bloque debe tener a lo más $50$ estados. (2) Cada par de estados debe estar junto en al menos un bloque. Encuentra el número mínimo de bloques que se deben formar.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Encuentra el lugar geométrico de los centros de los rectángulos cuyos vértices están sobre los lados de $ABC$.

Definición: Un número natural es abundante si la suma de sus divisores positivos es mayor que su doble. Encuentra un número abundante impar y demuestra que hay infinitos números abundantes impares.

1 Sea $\overline{abcd}$ uno de los 9999 números $0001, 0002, 0003, \ldots, 9998, 9999$. Sea $\overline{abcd}$ un número especial si $ab-cd$ y $ab+cd$ son cuadrados perfectos, $ab-cd$ divide a $ab+cd$ y también $ab+cd$ divide a $abcd$. Por ejemplo, 2016 es especial. Encuentra todos los números especiales $\overline{abcd}$. Nota: Si $\overline{abcd}=0206$, entonces $ab=02$ y $cd=06$.

3 Hay $2016$ posiciones marcadas alrededor de un círculo, con una ficha en una de ellas. Un movimiento legítimo consiste en mover la ficha 1 posición o 4 posiciones desde su ubicación, en sentido horario. La restricción es que la ficha no puede ocupar la misma posición más de una vez. Los jugadores $A$ y $B$ se turnan para hacer movimientos. El jugador $A$ hace el primer movimiento. El primer jugador que no pueda hacer un movimiento legítimo pierde. Determina cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.

4 Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$ . Encuentra todos los $n$ tales que $S(n)(S(n)-1)=n-1$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia con centro $O$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $AD = DE = EC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ADE$ y $\angle DEC$. Si $X \neq O$, muestra que las rectas $OX$ y $DE$ son perpendiculares.

6 Decimos que tres enteros distintos son amigables si uno de ellos divide al producto de los otros dos. Sea $n$ un entero positivo. a) Muestra que, entre $n^2$ y $n^2+n$, exclusivo, no existe ningún trío de números amigables. b) Determina si para cada $n$ existe un trío de números amigables entre $n^2$ y $n^2+n+3\sqrt{n}$, exclusivo.

1 Determina todas las ternas $(x,y,p)$ de enteros positivos tales que $p$ es primo, $p=x^2+1$ y $2p^2=y^2+1$.