12 Si $X, Y$ son subconjuntos de $\mathbb{Z}$, denotaremos por $X+Y$ al conjunto de todos los números de la forma $x+y$ donde $x\in X$ y $y\in Y$. En particular, $X+Y+Z=(X+Y)+Z$. Se dan subconjuntos no vacíos y finitos $A, B, C$ de $\mathbb{Z}$. Demuestra que $$2|A+B+C|+1\geq |A+B|+|B+C|+|C+A|.$$

Dado un cuadrilátero cíclico convexo $ABCD$. Los rayos $AB$ y $DC$ se encuentran en $X$. Los rayos $AD$ y $BC$ se encuentran en $Y$. Sean $I, J$ los incentros de $BCX$ y $CDY$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de $BCX$ y $CDY$ se vuelven a encontrar en $Z \ne C$. Supón que $CX=CY$. Demuestra que $ZI=ZJ$.

Encuentra todas las funciones \(f\colon \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+\) tales que, para todo \(x,y,z,t>0\), se cumple \[f(x+y, z+t)\leq f(z,x)+f(t,y)\] y \[f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x}\right)(x+y-f(y,x))=f(x,y)\]

En los lados del triángulo \(\triangle ABC\) se encuentran los siguientes puntos: \(K\) y \(L\) sobre \(AB\), \(M\) sobre \(BC\), y \(N\) sobre \(CA\). Sean \[ P = AM\cap BN,\quad R = KM\cap LN,\quad S = KN\cap LM, \] y sea la recta \(CS\) la que corta a \(AB\) en \(Q\). Demuestra que los puntos \(P\), \(Q\) y \(R\) son colineales.

Un lago tiene forma de hexágono regular de lado \(1\). Inicialmente hay una sola hoja de loto en algún lugar del lago, suficientemente lejos de la orilla. Cada día, de cada hoja existente puede crecer una nueva hoja a distancia \(\sqrt{3}\) (medida entre centros), siempre que no se superponga con ninguna otra hoja. Si el lago es lo suficientemente grande como para que los efectos de borde nunca interfieran, ¿cuál es el número mínimo de días necesarios para tener \(2025\) hojas en el lago?

Encuentra todas las funciones \(f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}\) tales que 1) \(f(a)\) divide a \(a\) para todo \(a\in\mathbb{N}_0\), y 2) para todos \(a,b,k\in\mathbb{N}_0\) se tiene \[ f\bigl(f(a)+kb\bigr)\;=\;f\bigl(a + k\,f(b)\bigr). \]

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con lados de longitudes $a,b,c$, incentro $I$, y circunradio $R$. Denota por $P$ el área de $\triangle ABC$, y sean $P_1,\;P_2,\;P_3$ las áreas de los triángulos $\triangle ABI$, $\triangle BCI$, y $\triangle CAI$, respectivamente. Demuestra que \[ \frac{abc}{12R} \;\le\; \frac{P_1^2 + P_2^2 + P_3^2}{P} \;\le\; \frac{3R^3}{4\sqrt[3]{abc}}. \]

Sea $n>2$ un entero par, y sea $V$ un conjunto arbitrario de $8$ enteros distintos. Define \[ E(V,n) \;=\; \bigl\{(u,v)\in V\times V : u < v,\ u+v = n^k\text{ para algún }k\in\mathbb{N}\bigr\}. \] Para cada $n>2$ par, determina el tamaño máximo posible del conjunto $E(V,n)$.

Se dan enteros positivos $m, n$ tales que $\sqrt{2}<\frac{m}{n}<\sqrt{2}+\frac{1}{2}$ y $m$ es par. Demuestra que existen enteros positivos $k<m$ y $l<n$ tales que $$|\frac{k}{l}-\sqrt{2}|<\frac{m}{n}-\sqrt{2}$$

Sea \( f(x)=ax^2+bx+c \) una función cuadrática cuya gráfica no interseca el eje \( x \). Demuestra que \[ a(2a+3b+6c)>0. \]