4 En el triángulo $ABC$ sean $A'$ , $B'$ , $C'$ los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Además, sean $L$ , $M$ , $N$ las proyecciones del ortocentro sobre los tres lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , y sea $k$ el círculo de los nueve puntos. Las rectas $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ cortan a $k$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ . Las tangentes a $k$ en $D$ , $E$ , $F$ cortan a las rectas $MN$ , $LN$ y $LM$ en los puntos $P$ , $Q$ , $R$ . Demuestra que $P$ , $Q$ y $R$ están alineados.

3 Considera una matriz binaria $M$ (todas las entradas son $0$ o $1$) con $r$ filas y $c$ columnas, donde cada fila y cada columna contienen al menos una entrada igual a $1$. Demuestra que existe una entrada $M(i,j) = 1$, tal que la suma de fila correspondiente $R(i)$ y la suma de columna $C(j)$ satisfacen $r R(i)\ge c C(j)$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ de números reales tales que se cumple el siguiente sistema: $$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\end{cases}$$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

3 Los lados $a,b,c$ de un triángulo $ABC$ son enteros con $\gcd(a,b,c)=1$. La bisectriz del ángulo $BAC$ corta a $BC$ en $D$. (a) Demuestra que si los triángulos $DBA$ y $ABC$ son semejantes, entonces $c$ es un cuadrado. (b) Si $c=n^2$ es un cuadrado $(n\ge 2)$, encuentra un triángulo $ABC$ que cumpla (a).

4 Sean $0\le x_{i,j} \le 1$, donde $i=1,2, \ldots m$ y $j=1,2, \ldots n$. Demuestra la desigualdad \[ \prod_{j=1}^n\left(1-\prod_{i=1}^mx_{i,j} \right)+ \prod_{i=1}^m\left(1-\prod_{j=1}^n(1-x_{i,j}) \right) \ge 1 \]

4 Si $a, b, c$ son números reales no negativos con $a^2 + b^2 + c^2 = 1$, demuestra que: \[ \frac {a}{b^2 + 1} + \frac {b}{c^2 + 1} + \frac {c}{a^2 + 1} \geq \frac {3}{4}(a\sqrt {a} + b\sqrt {b} + c\sqrt {c})^2 \]

4 Dado un triángulo acutángulo $ABC$, sea $P$ un punto arbitrario en el segmento $BC$. Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AC$ interseca a $AB$ en $P_b$. Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ interseca a $AC$ en $P_c$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $AP_bP_c$ pasa por un punto fijo distinto de $A$ cuando $P$ varía en el segmento $BC$. Propuesto por ltf0501

Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sea $P$ un punto cualquiera en su circunferencia circunscrita. Determina todos los enteros positivos $n$ para los cuales el valor de la suma $S_n (P) = |PA|^n + |PB|^n + |PC|^n$ es independiente de la elección del punto $P$.

3 Sean $A_1,A_2,\ldots , A_n$ $(n\geq 3)$ conjuntos finitos de enteros positivos. Demuestra que \[ \displaystyle \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |A_i|\right) + \frac{1}{{{n}\choose{3}}}\sum_{1\leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| \geq \frac{2}{{{n}\choose{2}}}\sum_{1\leq i < j \leq n}|A_i \cap A_j| \] se cumple, donde $|E|$ es la cardinalidad del conjunto $E$ Yimin

4 En el triángulo $\triangle ABC$ tenemos $BC=a,CA=b,AB=c$ y $\angle B=4\angle A$. Demuestra que \[ab^2c^3=(b^2-a^2-ac)((a^2-b^2)^2-a^2c^2)\]