Sea $A=(a_{ij})$ una matriz real $n\times n$ tal que $A^n\ne0$ y $a_{ij}a_{ji}\le0$ para todos los $i,j$ . Demuestre que entre los valores propios de $A$ existen dos números no reales.

Considere la sucesión $(x_n)$ dada por $$x_1=2,\enspace x_{n+1}=\frac{x_n+1+\sqrt{x_n^2+2x_n+5}}2,\enspace n\ge2.$$ Demuestre que la sucesión $y_n=\sum_{k=1}^n\frac1{x_k^2-1},\enspace n\ge1$ es convergente y halle su límite.

Sea $A\in M_n(\mathbb{C}) $ y $a\in \mathbb{C} $ tales que $A-A^*=2aI_n $ , donde $A^*=(\overline{A})^T $ e $I_n$ es la matriz identidad. (i) Demuestre que $|\det A|\ge |a|^n $ . (ii) Demuestre que si $|\det A|=|a|^n $ entonces $A=aI_n$ .

a) Demuestre que $\lim_{n\to\infty}n\int^n_0\frac{\operatorname{arctan}\frac xn}{x(x^2+1)}dx=\frac\pi2$ . b) Halle el límite $\lim_{n\to\infty}n\left(m\int^n_0\frac{\operatorname{arctan}\frac xn}{x(x^2+1)}dx-\frac\pi2\right)$ .

Problema 1. Sea $f$ una función real continua y decreciente, definida en $[0, \pi/2]$ . Demuestre las desigualdades $$\int_{\frac{\pi}{2}-1}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\cos xdx\le\int_{0}^{1}f(x)dx$$ ¿cuándo se cumplen las igualdades?

Problema 2. a) Demuestre que para toda matriz $X\in M_2(\mathbb{C})$ existe una matriz $Y\in M_2(\mathbb{C})$ tal que $Y^3=X^2$ . b) Demuestre que existe una matriz $A\in M_3(\mathbb{C})$ tal que $Z^3\neq A^2$ para toda $Z\in M_3(\mathbb{C})$

Problema 3. Sean $A_1, A_2, ... , A_k$ matrices idempotentes ( $A_i^2=A_i$ ) en $ M_n(\mathbb{R})$ . Demuestre que $$\sum_{i=1}^kN(A_i)\ge rank(I - \prod_{i=1}^kA_i)$$ donde $N(A_i)=n-rank(A_i)$ y $M_n(\mathbb{R})$ es el conjunto de matrices cuadradas $n\times n$ con entradas reales.

Problema 4. Sea $n \ge 1$ un entero y sea $$I_n=\int_0^{\infty}\frac{\arctan x}{(1+x^2)^n} dx.$$ Demuestre que a) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{I_n}{n}=\frac{\pi ^2}{6}$ b) $\int_0^{\infty}\arctan\cdot \ln(1+\frac{1}{x^2})dx=\frac{\pi ^2}{6}$

1 Una sucesión $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}, 0\leq x_n\leq 1$ se llama "Devin" si para toda $f\in C[0,1]$ $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)=\int_0^1 f(x)\,dx $$ Demuestre que una sucesión $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}, 0\leq x_n\leq 1$ es "Devin" si y solo si para todo entero no negativo $k$ se cumple $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^k=\frac{1}{k+1}.$$ Observación. He dejado intacto el texto tal como fue propuesto. Devin es una ciudad búlgara y un centro balneario (SPA), donde se celebró esta competencia.

2 Sean $A_1, A_2,\dots,A_m\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Demuestre que existen $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_m\in \{-1,1\}$ tales que: $$\rm{tr}\left( (\varepsilon_1 A_1+\varepsilon_2A_2+\dots+\varepsilon_m A_m)^2\right)\geq \rm{tr}(A_1^2)+\rm{tr}(A_2^2)+\dots+\rm{tr}(A_m^2) $$