3 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función de valores reales definida sobre el conjunto de los números reales que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todos los números reales $x$ y $y$ . Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$ . Propuesto por Igor Voronovich, Bielorrusia Amir

A3 Sea $p(z)$ un polinomio de grado $n,$ cuyas raíces tienen todas valor absoluto $1$ en el plano complejo. Pon $g(z)=\frac{p(z)}{z^{n/2}}.$ Demuestra que todas las raíces de $g'(z)=0$ tienen valor absoluto $1.$

7 Demuestre que para cualesquiera cuatro números reales positivos $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ se cumple la desigualdad \[ \frac {(a - b)(a - c)}{a + b + c} + \frac {(b - c)(b - d)}{b + c + d} + \frac {(c - d)(c - a)}{c + d + a} + \frac {(d - a)(d - b)}{d + a + b}\ge 0\] . Determine todos los casos de igualdad. Autor: Darij Grinberg (Propuesta del problema), Christian Reiher (Solución), Alemania

2 Un grupo de $n > 1$ piratas de diferentes edades poseía un total de $2009$ monedas. Inicialmente cada pirata (excepto el más joven) tenía una moneda más que el siguiente más joven. a) Encuentre todos los valores posibles de $n$ . b) Cada día se elegía a un pirata. El pirata elegido daba una moneda a cada uno de los otros piratas. Si $n = 7$ , encuentre el mayor número posible de monedas que un pirata puede tener después de varios días.

4 En cada casilla de una cuadrícula de $4$ por $4$ , se coloca un $+1$ o un $-1$ . Si se eliminan cualesquiera 2 filas y 2 columnas, la suma de los 4 números restantes es no negativa. ¿Cuál es el número mínimo de $+1$ 's que se necesitan colocar para poder satisfacer las condiciones?

Dos estudiantes $A$ y $B$ juegan un juego en un tablero de ajedrez de $20 \text{ x } 20$ . Se sabe que se dice que dos casillas son adyacentes si las dos casillas tienen un lado en común. Al principio, hay una pieza de ajedrez en cierta casilla del tablero. Dado que $A$ será el primero en mover la pieza, $A$ y $B$ moverán alternadamente esta pieza a una casilla adyacente. Además, el lado común de cualquier par de casillas adyacentes solo puede ser cruzado una vez. Si el oponente no puede moverse más, entonces será declarado ganador (para aclarar, ya que la redacción no era muy buena, se pierde si no puedes moverte). ¿Quién de $A$ y $B$ tiene una estrategia ganadora? Justifique su afirmación.

3 Encuentre todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $(x + y)^2(x^2 + y^2) = 2009^2$

5 Sea $n$ un entero positivo par. Decimos que dos celdas diferentes de un tablero $n \times n$ son vecinas si tienen un lado común. Halle el número mínimo de celdas del tablero $n \times n$ que deben marcarse para que cualquier celda (marcada o no marcada) tenga una celda vecina marcada.

1 El punto $O$ está en el interior de $\triangle ABC$ . Los pies de las perpendiculares trazadas desde $O$ a $BC,CA,AB$ son $D,E,F$ . Las perpendiculares trazadas desde $A$ y $B$ respectivamente a $EF$ y $FD$ se cortan en $P$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a $AB$ . Demuestre que $D,E,F,H$ son concíclicos.

2 Halle el valor máximo de $M$ tal que, si se eligen $10$ números reales distintos cualesquiera en $[1,M]$ , deben existir $3$ números $a<b<c$ que satisfagan que $ax^2+bx+c=0$ no tiene raíz real.