1 $a,b$ son números reales tales que: \[ a^3+b^3=8-6ab. \] Halle los valores máximo y mínimo de $a+b$ .

4 Las cifras decimales $a,b,c$ satisfacen \[ 37\mid (a0a0\ldots a0b0c0c\ldots 0c)_{10} \] donde hay $1001$ aes y $1001$ ces. Demuestre que $b=a+c$ .

1 Sea $ n(\ge2) $ un entero positivo. Halle el mínimo $ m $ tal que existan $x_{ij}(1\le i ,j\le n)$ que satisfagan: (1)Para todo $1\le i ,j\le n, x_{ij}=max\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ij}\} $ o $ x_{ij}=max\{x_{1j},x_{2j},...,x_{ij}\}.$ (2)Para todo $1\le i \le n$ , hay a lo sumo $m$ índices $k$ con $x_{ik}=max\{x_{i1},x_{i2},...,x_{ik}\}.$ (3)Para todo $1\le j \le n$ , hay a lo sumo $m$ índices $k$ con $x_{kj}=max\{x_{1j},x_{2j},...,x_{kj}\}.$

2 Sea el triángulo $ABC(AB<AC)$ con incentro $I$ inscrito en $\odot O$ . Sean $M,N$ los puntos medios de los arcos $\widehat{BAC}$ y $\widehat{BC}$ , respectivamente. $D$ está sobre $\odot O$ de modo que $AD//BC$ , y $E$ es el punto de tangencia de la $A$ - excircunferencia de $\bigtriangleup ABC$ . El punto $F$ está en $\bigtriangleup ABC$ de modo que $FI//BC$ y $\angle BAF=\angle EAC$ . Extienda $NF$ hasta cortar a $\odot O$ en $G$ , y extienda $AG$ hasta cortar a la recta $IF$ en L. Las rectas $AF$ y $DI$ se cortan en $K$ . Demuestre que $ML\bot NK$ .

3 Halle todos los enteros positivos $n(\ge 2)$ y racionales $\beta \in (0,1)$ que satisfacen lo siguiente: Existen enteros positivos $a_1,a_2,...,a_n$ tales que, para todo conjunto $I \subseteq \{1,2,...,n\}$ que contenga al menos dos elementos, $$ S(\sum_{i\in I}a_i)=\beta \sum_{i\in I}S(a_i). $$ donde $S(n)$ denota la suma de los dígitos de la representación decimal de $n$ .

5 Halle el menor real $\alpha$ tal que, para todo polígono convexo $P$ de área $1$ , exista un punto $M$ en el plano tal que el área de la envolvente convexa de $P\cup Q$ sea a lo sumo $\alpha$ , donde $Q$ denota la imagen de $P$ bajo la simetría central con respecto a $M$ .

1 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura desde $C.$ La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $CD$ en $E$ y vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita $\omega$ del triángulo $\triangle ADE$ en $F.$ Si $\angle ADF = 45^{\circ}$, demuestra que $CF$ es tangente a $\omega.$

4 Suponga que $x_1,x_2,...,x_{60}\in [-1,1]$ , halle el máximo de $$ \sum_{i=1}^{60}x_i^2(x_{i+1}-x_{i-1}),$$ donde $x_{i+60}=x_i$ .

3 En un tablero de ajedrez rectangular de $m\times n$ hay una piedra en la casilla inferior izquierda. Dos personas A y B mueven la piedra alternadamente. En cada paso se puede mover la piedra hacia arriba o hacia la derecha cualquier número de casillas. El que la mueva a la casilla superior derecha gana. Halle todos los $(m,n)$ tales que la primera persona tenga una estrategia ganadora.

2 En el trapecio $ABCD$ , $AD$ es paralela a $BC$ . Sabiendo que $AB=AD+BC$ , demuestre que la bisectriz de $\angle A$ también biseca a $CD$ .