1 Suponga que $p$ es un número primo mayor que $3$ . Demuestre que $7^{p}-6^{p}-1$ es divisible por $43$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyos lados y área son iguales a $a, b, c$ y $S$ , respectivamente. Demuestre o refute que una condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto $P$ interior al triángulo $ABC$ tal que las distancias entre $P$ y los vértices de $ABC$ sean iguales a $x, y$ y $z$ , respectivamente, es que exista un triángulo con lados $a, y, z$ y área $S_1$ , un triángulo con lados $b, z, x$ y área $S_2$ y un triángulo con lados $c, x, y$ y área $S_3$ donde $S_1 + S_2 + S_3 = S.$ . Amir

3 Sean $n, r$ enteros positivos. Halle el menor entero positivo $m$ que satisface la siguiente condición. Para cada partición del conjunto $\{1, 2, \ldots ,m \}$ en $r$ subconjuntos $A_1,A_2, \ldots ,A_r$ , existen dos números $a$ y $b$ en algún $A_i, 1 \leq i \leq r$ , tales que \[ 1 < \frac ab < 1 +\frac 1n.\] Amir

1 $G$ es un grafo con $n$ vértices $A_1,A_2,\ldots,A_n,$ tal que para cada par de vértices no adyacentes $A_i$ y $A_j$ , existe otro vértice $A_k$ adyacente a $A_i$ y a $A_j .$ a la vez. (a) Halle el número mínimo de aristas en un grafo así. (b) Si $n = 6$ y $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,$ y $A_6$ forman un ciclo de longitud $6,$ , halle el número de aristas que deben añadirse a este ciclo para que se cumpla la condición anterior. Amir

2 Muestre que si $D_1$ y $D_2$ son dos rectas alabeadas, entonces existen infinitas rectas cuyos puntos tienen igual distancia a $D_1$ y $D_2.$ Amir

3 Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos polinomios con coeficientes reales tales que para infinitos valores racionales de $x$ , la fracción $\frac{f(x)}{g(x)}$ es racional. Demuestre que $\frac{f(x)}{g(x)}$ puede escribirse como el cociente de dos polinomios con coeficientes racionales. Amir

1 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ.$ Las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ se intersecan en $I$ e intersecan los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Demuestre que $S_{BCDE}=2S_{BIC},$ donde $S$ es la función área. [asy] import graph; size(200); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen ttqqcc = rgb(0.2,0,0.8); pen qqwuqq = rgb(0,0.39,0); pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); pen fftttt = rgb(1,0.2,0.2); pen ccccff = rgb(0.8,0.8,1); draw((1.89,4.08)--(1.89,4.55)--(1.42,4.55)--(1.42,4.08)--cycle,qqwuqq); draw((1.42,4.08)--(7.42,4.1),ttqqcc+linewidth(1.6pt)); draw((1.4,10.08)--(1.42,4.08),ttqqcc+linewidth(1.6pt)); draw((1.4,10.08)--(7.42,4.1),ttqqcc+linewidth(1.6pt)); draw((1.4,10.08)--(4,4.09),fftttt+linewidth(1.2pt)); draw((7.42,4.1)--(1.41,6.24),fftttt+linewidth(1.2pt)); draw((1.41,6.24)--(4,4.09),ccccff+linetype("5pt 5pt")); dot((1.42,4.08),ds); label("$A$", (1.1,3.66),NE*lsf); dot((7.42,4.1),ds); label("$B$", (7.15,3.75),NE*lsf); dot((1.4,10.08),ds); label("$C$", (1.49,10.22),NE*lsf); dot((4,4.09),ds); label("$E$", (3.96,3.46),NE*lsf); dot((1.41,6.24),ds); label("$D$", (0.9,6.17),NE*lsf); dot((3.37,5.54),ds); label("$I$", (3.45,5.69),NE*lsf); clip((-6.47,-7.49)--(-6.47,11.47)--(16.06,11.47)--(16.06,-7.49)--cycle); [/asy] Amir

2 En la sucesión $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ tenemos $a_0=1$ , $a_1=2$ y \[a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \qquad \forall n \geq 1\] Demuestre que \[52 < a_{1371} < 65\] Amir

1 Sea $A$ un subconjunto de $\{2,3, \ldots, 28 \}$ tal que si $a \in A$ , entonces el residuo que se obtiene al dividir $a^2$ entre $29$ también pertenece a $A$ . Halle el mínimo valor posible de $|A|$ .

3 Hay algunas ciudades a ambos lados de un río y hay algunos canales de navegación entre las ciudades. Cada canal de navegación conecta exactamente una ciudad de un lado del río con una ciudad del otro lado. Cada ciudad tiene exactamente $k$ canales de navegación. Para cada dos ciudades, hay un camino que las conecta. Demuestre que si eliminamos cualquier canal de navegación (solo uno), entonces nuevamente para cada dos ciudades hay un camino que las conecta. ( $( k \geq 2)$ ) Amir