4 Sobre una recta se dan $n$ puntos azules y $n$ puntos rojos. Demuestre que la suma de las distancias entre pares de puntos del mismo color no excede la suma de las distancias entre pares de puntos de colores diferentes. (O. Musin)

5 Demuestre la igualdad $$\frac{a_1}{a_2(a_1+a_2)}+\frac{a_2}{a_3(a_2+a_3)}+...+\frac{a_n}{a_1(a_n+a_1)}=\frac{a_2}{a_1(a_1+a_2)}+\frac{a_3}{a_2(a_2+a_3)}+...+\frac{a_1}{a_n(a_n+a_1)} $$ (R. Zhenodarov)

6 Tarjetas numeradas con los números del $1$ al $1000$ deben colocarse una por una en las celdas de un tablero rectangular $1\times 1994$, de acuerdo con la siguiente regla: si la celda adyacente a la celda que contiene la tarjeta $n$ está libre, entonces la tarjeta $n+1$ debe ponerse en ella. Demuestre que el número de disposiciones posibles no es mayor que medio millón.

7 Un trapecio $ABCD$ ( $AB ///CD$ ) tiene la propiedad de que existen puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AD$ y $BC$ respectivamente tales que $\angle APB = \angle CPD$ y $\angle AQB = \angle CQD$ . Demuestre que los puntos $P$ y $Q$ son equidistantes del punto de intersección de las diagonales del trapecio. (M. Smurov)

8 Un plano se divide en cuadrados unitarios mediante dos familias de rectas paralelas. Para cualquier cuadrado $n\times n$ con lados sobre las rectas de división, definimos su marco como el conjunto de aquellos cuadrados unitarios que tocan internamente el borde del cuadrado $n\times n$ . Demuestre que existe una única manera de cubrir un cuadrado $100\times 100$ dado, cuyos lados están sobre las rectas de división, con marcos de $50$ cuadrados (no necesariamente contenidos en el cuadrado $100\times 100$ ). (A. Perlin)

1 Se dan tres polinomios cuadráticos: $P_1(x) = x^2 + p_1x+q_1, P_2(x) = x^2+ p_2x+q_2, P_3(x) = x^2 + p_3x+q_3$ . Demuestre que la ecuación $|P_1(x)|+|P_2(x)| = |P_3(x)|$ tiene a lo sumo ocho raíces reales.

2 igual que en el grado 9

3 Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo, sean $m_a,m_b,m_c$ las medianas correspondientes, y sea $D$ el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo. Demuestre que $\frac{a^2+b^2}{m_c}+\frac{a^2+c^2}{m_b}+\frac{b^2+c^2}{m_a} \leq 6D$ .

4 En un $ 6n+1$ -ágono regular, $ k$ vértices se pintan de rojo y los demás de azul. Demuestre que el número de triángulos isósceles cuyos vértices son del mismo color no depende de la disposición de los vértices rojos.

6 Publicaré aquí algunos problemas agradables de combinatoria, tomados del maravilloso libro de entrenamiento "Les olympiades de mathmatiques" (en francés) escrito por Tarik Belhaj Soulami. Aquí va el primero: Sea $\mathbb{I}$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{Z}$ y sean $f$ y $g$ dos funciones definidas sobre $\mathbb{I}$ . Sea $m$ el número de pares $(x,\;y)$ para los cuales $f(x) = g(y)$ , sea $n$ el número de pares $(x,\;y)$ para los cuales $f(x) = f(y)$ y sea $k$ el número de pares $(x,\;y)$ para los cuales $g(x) = g(y)$ . Demuestre que \[2m \leq n + k.\]