2 Sea $n$ un entero positivo. Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $$P(x^2+x-n^2)=P(x)^2+P(x)$$ para todos los números reales $x$ .

5 Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todos los enteros positivos $n$ . Demuestre que $a_{2022}\leq 1$ .

7 Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene dos alturas $BE$ y $CF$ . La circunferencia con diámetro $AC$ interseca el segmento $BE$ en el punto $P$ . Una circunferencia con diámetro $AB$ interseca el segmento $CF$ en el punto $Q$ y la prolongación de esta altura en el punto $Q'$ . Demuestre que $\angle PQ'Q = \angle PQB$ .

3 Sea $n$ un entero positivo. Comenzamos con $n$ montones de piedras, cada uno con una sola piedra inicialmente. Se pueden realizar movimientos de la siguiente forma: elija dos montones, tome la misma cantidad de piedras de cada montón y forme un nuevo montón con esas piedras. Halle (en términos de $n$ ) el menor número de montones no vacíos que se puede obtener realizando una sucesión finita de movimientos de esta forma.

1 Sea $a > 1$ un entero positivo y sea $d > 1$ un entero positivo coprimo con $a$ . Sea $x_1=1$ , y para $k\geq 1$ , defina $$x_{k+1} = \begin{cases} x_k + d &\text{if } a \text{ does not divide } x_k \\ x_k/a & \text{if } a \text{ divides } x_k \end{cases}$$ Halle, en términos de $a$ y $d$ , el mayor entero positivo $n$ para el cual existe un índice $k$ tal que $x_k$ es divisible por $a^n$ .

1 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente condición para cualesquiera números reales $x{}$ e $y$ $$f(x)+f(x+y) \leq f(xy)+f(y).$$

2 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ en la prolongación del rayo $AB$ más allá de $B.$ La circunferencia circunscrita de $ACD$ corta de nuevo al segmento $PD$ en $Q.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ corta al segmento $PC$ en $R.$ Demuestre que las rectas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.

3 Sea $p{}$ un número primo fijo. Juku y Miku juegan el siguiente juego. Uno de los jugadores elige un número natural $a$ tal que $a>1$ y $a$ no es divisible por $p{}$ ; su oponente elige cualquier número natural $n{}$ tal que $n>1$ . Miku gana si el número natural escrito como $n{}$ " $1$ " s en el sistema de numeración posicional de base $a$ es divisible por $p{}$ ; en caso contrario gana Juku. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora si: (a) Juku elige el número $a$ , se lo comunica a Miku y luego Miku elige el número $n{}$ ; (b) Juku elige el número $n{}$ , se lo comunica a Miku y luego Miku elige el número $a$ ?

4 Sea $n\ge 3$ un entero fijo. Hay $m\ge n+1$ cuentas en un collar circular. Se desea pintar las cuentas usando $n$ colores, de modo que entre cualesquiera $n+1$ cuentas consecutivas cada color aparezca al menos una vez. Halle el mayor valor de $m$ para el cual esta tarea $\emph{not}$ es posible. Carl Schildkraut, USA

5 (a) ¿Es cierto que, para un entero arbitrario $n{}$ mayor que $1$ y enteros positivos distintos $i{}$ y $j$ no mayores que $n{}$ , el conjunto de cualesquiera $n{}$ enteros consecutivos contiene números distintos $i^{'}$ y $j^{'}$ cuyo producto $i^{'}j^{'}$ es divisible por el producto $ij$ ? (b) ¿Es cierto que, para un entero arbitrario $n{}$ mayor que $2$ y enteros positivos distintos $i, j, k$ no mayores que $n{}$ , el conjunto de cualesquiera $n{}$ enteros consecutivos contiene números distintos $i^{'},j^{'},k^{'}$ cuyo producto $i^{'}j^{'}k^{'}$ es divisible por el producto $ijk$ ?