4 Demuestra: Si la suma de todos los divisores positivos de \( n \in \mathbb{Z}^{+}\) es una potencia de dos, entonces el número de divisores es una potencia de dos.

1 Sea $ABC$ un triángulo y $Q$ un punto sobre la bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$. La circunferencia $\omega_1$ está circunscrita al triángulo $BAQ$ e interseca al segmento $AC$ en el punto $P \neq C$. La circunferencia $\omega_2$ está circunscrita al triángulo $CQP$. El radio de la circunferencia $\omega_1$ es mayor que el radio de $\omega_2$. La circunferencia con centro en $Q$ y radio $QA$ interseca a $\omega_1$ en los puntos $A$ y $A_1$. La circunferencia con centro en $Q$ y radio $QC$ interseca a $\omega_1$ en los puntos $C_1$ y $C_2$. Demuestra que $\angle A_1BC_1 = \angle C_2PA$. Propuesto por Matija Bucić.

2 Sea $S$ el conjunto de los enteros positivos. Para cualesquiera $a$ y $b$ en el conjunto se tiene que $GCD(a, b)>1$. Para cualesquiera $a$, $b$ y $c$ en el conjunto se tiene que $GCD(a, b, c)=1$. ¿Es posible que $S$ tenga $2012$ elementos? Propuesto por Ognjen Stipetić.

3. ¿Existen números reales positivos $x$, $y$ y $z$ tales que $$ x^4 + y^4 + z^4 = 13\text{,} \quad x^3y^3z + y^3z^3x + z^3x^3y = 6\sqrt{3} \text{,} \quad x^3yz + y^3zx + z^3xy = 5\sqrt{3} \text{?} $$ Propuesto por Matko Ljulj.

4 Sea $k$ un entero positivo. En la Copa Europea de Ajedrez cada par de jugadores jugó una partida en la que alguien ganó (no hubo empates). Para cualesquiera $k$ jugadores hubo un jugador contra el que todos perdieron, y el número de jugadores fue el menor posible para tal $k$. ¿Es posible que en la Ceremonia de Clausura todos los participantes se sentaran en una mesa redonda de tal manera que cada participante estuviera sentado junto a una persona a la que le ganó y a una persona contra la que perdió? Propuesto por Matija Bucić.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. Los segmentos $AH$ y $CH$ intersecan a los segmentos $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$, respectivamente. Los segmentos $BH$ y $A_1C_1$ se cortan en el punto $D$. Sea $P$ el punto medio del segmento $BH$. Sea $D'$ la reflexión del punto $D$ en $AC$. Demuestra que el cuadrilátero $APCD'$ es cíclico. Propuesto por Matko Ljulj.

3 Demuestra que la siguiente desigualdad se cumple para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ y $f$ \[\sqrt[3]{\frac{abc}{a+b+d}}+\sqrt[3]{\frac{def}{c+e+f}} < \sqrt[3]{(a+b+d)(c+e+f)} \text{.}\] Propuesto por Dimitar Trenevski.

El mismo que Otoño 2022, Nivel A Superior

4 Olja escribe $n$ enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ menores que $p_n$, donde $p_n$ denota el $n$-ésimo número primo. Oleg puede elegir dos números (no necesariamente distintos) $x$ y $y$ y reemplazar uno de ellos por su producto $xy$. Si hay dos números iguales, Oleg gana. ¿Puede Oleg garantizar la victoria? Propuesto por Matko Ljulj.

1 Decimos que una cuádrupla de números reales no negativos $(a,b,c,d)$ está balanceada si $$a+b+c+d=a^2+b^2+c^2+d^2.$$ Encuentra todos los números reales positivos $x$ tales que $$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\geq 0$$ para toda cuádrupla balanceada $(a,b,c,d)$. (Ivan Novak)