2 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ es un entero. Aquí $[r]$ denota el mayor entero menor o igual que $r$ .

2 Sea $n \geq 1$ un entero. ¿Cuál es el número máximo de pares disjuntos de elementos del conjunto $\{ 1,2,\ldots , n \}$ tales que las sumas de los pares distintos son enteros distintos que no exceden $n$ ?

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$ y circuncentro $O$ . La bisectriz de $\angle BAC$ corta a $BC$ en $D$ . Sea $E$ la reflexión de $D$ con respecto al punto medio de $BC$ . Las rectas que pasan por $D$ y $E$ perpendiculares a $BC$ cortan a las rectas $AO$ y $AD$ en $X$ y $Y$ , respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $BXCY$ es cíclico.

4 Sean $f$ y $g$ dos polinomios no nulos con coeficientes enteros y $\deg f>\deg g$ . Suponga que para infinitos primos $p$ el polinomio $pf+g$ tiene una raíz racional. Demuestre que $f$ tiene una raíz racional.

1 Se dice admisible a un conjunto $A$ de enteros que tiene la siguiente propiedad: si $x,y \in A$ (posiblemente $x=y$ ), entonces $x^2+kxy+y^2 \in A$ para todo entero $k$ . Determine todos los pares $m,n$ de enteros no nulos tales que el único conjunto admisible que contiene tanto a $m$ como a $n$ es el conjunto de todos los enteros. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo con $AD > BC$ , A $B$ no siendo un diámetro y $C D$ perteneciendo al arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita. Las semirrectas $AD$ y $BC$ se cortan en $K$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$ y la recta $KP$ corta al lado $AB$ en el punto $L$ . Demuestre que el ángulo $\angle ALK$ es agudo.

3 En una tabla cuadrada de $999 \times 999$ casillas, algunas casillas son blancas y las restantes son rojas. Sea $T$ el número de ternas $(C_1,C_2,C_3)$ de casillas, las dos primeras en la misma fila y las dos últimas en la misma columna, con $C_1,C_3$ blancas y $C_2$ roja. Halle el valor máximo que $T$ puede alcanzar. Propuesto por Merlijn Staps, Países Bajos

4 Sean $a, b, c$ números reales no negativos con $a + b + c \le 2$ . Demuestre que $$\sqrt{b^2+ac} + \sqrt{a^2+bc} + \sqrt{c^2+ab} \le 3$$

1 Sea $ P $ un punto en el interior de un triángulo $ ABC $ , y sean $ D, E, F $ los puntos de intersección de la recta $ AP $ con el lado $ BC $ del triángulo, de la recta $ BP $ con el lado $ CA $ , y de la recta $ CP $ con el lado $ AB $ , respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $ ABC $ debe ser $ 6 $ si el área de cada uno de los triángulos $ PFA, PDB $ y $ PEC $ es $ 1 $ .

2 En cada casilla de una cuadrícula cuadrada de $ 2012 \times 2012 $ se inserta un número real mayor o igual que $ 0 $ y menor o igual que $ 1 $ . Considere dividir la cuadrícula en $2$ rectángulos no vacíos formados por casillas de la cuadrícula trazando una línea paralela al lado horizontal o al lado vertical de la cuadrícula. Suponga que para al menos uno de los rectángulos resultantes la suma de los números en las casillas dentro del rectángulo es menor o igual que $ 1 $ , sin importar cómo se divida la cuadrícula en $2$ tales rectángulos. Determine el valor máximo posible para la suma de todos los $ 2012 \times 2012 $ números insertados en las casillas.