1 Sobre una circunferencia hay $1000$ puntos marcados, cada uno coloreado con uno de $k$ colores. Se sabe que entre cualesquiera $5$ segmentos que se cortan dos a dos, cuyos extremos son $10$ puntos marcados distintos, hay al menos $3$ segmentos cuyos extremos están coloreados con colores diferentes. Determine el menor valor posible de $k$ para el cual esto es posible.

8 Desde cada vértice del triángulo $ABC$ trazamos dos rayos, uno rojo y uno azul, simétricos respecto a la bisectriz del ángulo correspondiente. Se consideran las circunferencias circunscritas de los triángulos formados por la intersección de los rayos del mismo color. Demuestre que si la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es tangente a una de estas circunferencias, entonces también es tangente a la otra.

3 Un triángulo acutángulo $ABC$ está fijado en un plano, con lado mayor $BC$ . Sea $PQ$ un diámetro arbitrario de su circunferencia circunscrita, donde el punto $P$ está sobre el arco menor $AB$ y el punto $Q$ sobre el arco menor $AC$ . Los puntos $X, Y, Z$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $P$ a la recta $AB$ , desde el punto $Q$ a la recta $AC$ y desde el punto $A$ a la recta $PQ$ . Demuestre que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ está sobre una circunferencia fija.

2 En el plano coordenado se dibujan las gráficas de las funciones $y=sin x$ y $y=tan x$ , junto con los ejes coordenados. Usando compás y regla, construya una recta tangente a la gráfica del seno en un punto por encima del eje $Ox$ , así como en un punto por debajo de ese eje (la recta también puede cortar a la gráfica en varios otros puntos).

10 Sea $r>0$ un número real. Llamamos $r$ - good a un polinomio mónico con coeficientes complejos si todas sus raíces tienen valor absoluto a lo sumo $r$ . Llamamos primordial a un polinomio mónico con coeficientes complejos si todos sus coeficientes tienen valor absoluto a lo sumo $1$ . a) Demuestre que todo polinomio $1$ - good tiene un múltiplo primordial. b) Si $r>1$ , demuestre que existe un polinomio $r$ - good que no tiene un múltiplo primordial. Propuesto por Pranjal Srivastava Rijul

8 Para un número natural $N$ , considere todos los cuadrados perfectos distintos que se pueden obtener de $N$ eliminando un dígito de su representación decimal. Demuestre que el número de tales cuadrados está acotado por algún valor que no depende de $N$ .

7 El punto $E$ se marca sobre el lado $BC$ del paralelogramo $ABCD$ , y sobre el lado $AD$ , el punto $F$ , de modo que la circunferencia circunscrita de $ABE$ sea tangente al segmento $CF$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $CDF$ es tangente a la recta $AE$ .

6 Se da un número natural $n > 5$ . En una tira circular de papel está escrita una sucesión de ceros y unos. Para cada sucesión $w$ de $n$ ceros y unos contamos el número de maneras de recortar de la tira un fragmento en el que esté escrita $w$ . Resultó que el mayor número $M$ se alcanza para la sucesión $11 00...0$ ( $n-2$ ceros) y el menor, para la sucesión $00...011$ ( $n-2$ ceros). Demuestre que hay otra sucesión de $n$ ceros y unos que ocurre exactamente $M$ veces.

5 Hay $11$ enteros (no necesariamente distintos) escritos en el pizarrón. ¿Puede ocurrir que el producto de cualesquiera cinco de ellos sea mayor que el producto de los otros seis?

$2023$ bolas se dividen en varios cubos de modo que ningún cubo contenga más de $99$ bolas. Podemos quitar bolas de cualquier cubo o quitar un cubo entero, tantas veces como queramos. Demuestre que podemos quitarlas de tal manera que cada uno de los cubos restantes tenga el mismo número de bolas y el número total de bolas restantes sea al menos $100$ .