B3 Sea $S$ el conjunto de matrices de $2\times2$ cuyos elementos son cada uno uno de los $15$ cuadrados $0,1,4,\ldots,196$. Demuestra que si seleccionamos más de $50387$ matrices de $S$, entonces dos de las seleccionadas deben conmutar.

B4 Sea $G$ un grupo finito de orden $n$ generado por $a$ y $b$. Prueba o refuta: existe una sucesión \[ g_1, g_2, g_3, \cdots, g_{2n} \] tal que: $(1)$ cada elemento de $G$ aparece exactamente dos veces, y $(2)$ $g_{i+1}$ es igual a $g_{i}a$ o $g_ib$ para $ i = 1, 2, \cdots, 2n $. (interpreta $g_{2n+1}$ como $g_1$.)

B5 ¿Existe una sucesión infinita $ a_0, a_1, a_2, \cdots $ de números reales distintos de cero tal que para $ n = 1, 2, 3, \cdots $ el polinomio \[ p_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \] tenga exactamente $n$ raíces reales distintas?

B6 Sea $S$ un conjunto convexo, cerrado y acotado no vacío en el plano. Sea $K$ una recta y $t$ un número positivo. Sean $L_1$ y $L_2$ rectas de soporte para $S$ paralelas a $K$, y sea $\overline{L}$ la recta paralela a $K$ y equidistante entre $L_1$ y $L_2$. Sea $B_S(K,t)$ la banda de puntos cuya distancia a $\overline{L}$ es a lo más $\left( \frac{t}{2} \right) w$, donde $w$ es la distancia entre $L_1$ y $L_2$. ¿Cuál es el menor $t$ tal que \[ S \cap \bigcap_K B_S (K, t) \ne \emptyset \] para todo $S$? ($K$ recorre todas las rectas del plano.)

A1 ¿Cuántos enteros en base diez de la forma 1010101...101 son primos?

A2 Evalúa $\int^{a}_{0}{\int^{b}_{0}{e^{max(b^{2}x^{2},a^{2}y^{2})}dy dx}}$

A3 Demuestra que todas las raíces de $ 11z^{10} + 10iz^9 + 10iz -11 = 0$ tienen módulo unitario (o equivalentemente $ |z| = 1$ ).

A4 ¿Existe un juego de apuestas con una moneda honesta para dos jugadores, en el que la probabilidad de que uno de ellos gane sea $\frac{1}{{\pi}^e}$?

A6 Sea $\alpha=1+a_1x+a_2x^2+\ldots$ una serie formal de potencias con coeficientes en el campo de dos elementos. Sea $$a_n=\begin{cases}1&\text{si todo bloque de ceros en la expansión binaria de }n\text{ tiene un número par de ceros}\\0&\text{en caso contrario}\end{cases}$$ (Por ejemplo, $a_{36}=1$ ya que $36=100100_2$). Demuestra que $\alpha^3+x\alpha+1=0$.

B1 Un dardo, lanzado al azar, da en un blanco cuadrado. Suponiendo que cualesquiera dos partes del blanco de igual área tienen la misma probabilidad de ser alcanzadas, encuentra la probabilidad de que el punto alcanzado esté más cerca del centro que de cualquier borde.