1999 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Además, sea $D\in[BC]$ un punto tal que $BC>BD>DC>0$, y sean $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ los circuncírculos de los triángulos $ABD$ y $ADC$ respectivamente. Sean $BB'$ y $CC'$ diámetros en los dos círculos, y sea $M$ el punto medio de $B'C'$. Demuestre que el área del triángulo $MBC$ es constante (es decir, no depende de la elección del punto $D$). Grecia Iris

2000 Un semicírculo de diámetro $EF$ está colocado sobre el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ y es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $P$ respectivamente. Demuestre que el punto de intersección $K$ de las rectas $EP$ y $FQ$ se encuentra sobre la altura desde $A$ del triángulo $ABC$. Albania Iris

2001 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C = 90^\circ$ y $CA \neq CB$. Sea $CH$ una altura y $CL$ una bisectriz de un ángulo interior. Muestre que para $X \neq C$ en la recta $CL$, se tiene $\angle XAC \neq \angle XBC$. Muestre también que para $Y \neq C$ en la recta $CH$ se tiene $\angle YAC \neq \angle YBC$. Bulgaria Valentin

2001 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $D$, $E$ puntos sobre los lados $[AB]$ y $[AC]$ respectivamente. Si $DF$, $EF$ (con $F\in AE$, $G\in AD$) son las bisectrices interiores de los ángulos del triángulo $ADE$, demuestre que la suma de las áreas de los triángulos $DEF$ y $DEG$ es a lo sumo igual al área del triángulo $ABC$. ¿Cuándo se cumple la igualdad? Grecia Valentin

2002 El triángulo $ABC$ tiene $CA = CB$. $P$ es un punto sobre el circuncírculo entre $A$ y $B$ (y en el lado opuesto de la recta $AB$ respecto a $C$). $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $PB$. Muestre que $PA + PB = 2 \cdot PD$. Valentin

2002 Dos círculos con centros $O_{1}$ y $O_{2}$ se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ tales que los centros de los círculos están en lados opuestos de la recta $AB$ . Las rectas $BO_{1}$ y $BO_{2}$ intersecan de nuevo a sus respectivos círculos en $B_{1}$ y $B_{2}$ . Sea $M$ el punto medio de $B_{1}B_{2}$ . Sean $M_{1}$ , $M_{2}$ puntos en los círculos de centros $O_{1}$ y $O_{2}$ respectivamente, tales que $\angle AO_{1}M_{1}= \angle AO_{2}M_{2}$ , y $B_{1}$ está en el arco menor $AM_{1}$ mientras que $B$ está en el arco menor $AM_{2}$ . Demuestre que $\angle MM_{1}B = \angle MM_{2}B$ . Ciprus Iris

2003 Sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos medios de los arcos $BC$ , $CA$ , $AB$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contienen a los puntos $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente. Sea la recta $DE$ que interseca a $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$ , y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$ . Sea la recta $FD$ que interseca a $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$ , y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$ . a) Halle los ángulos del triángulo $DMN$ ; b) Demuestre que si $P$ es el punto de intersección de las rectas $AD$ y $EF$ , entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$ . Iris

2004 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ , sea $M$ el punto medio de su lado $AC$ , y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AB$ . El círculo que pasa por los puntos $B$ , $C$ y $M$ interseca a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$ . Halle el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$ .

2005 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$ . Se da que la tangente desde $A$ al círculo interseca a la recta $BC$ en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $AP$ y sea $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la recta $BM$ . La recta $PR$ interseca de nuevo al círculo $k$ en el punto $S$ distinto de $R$ . Demuestre que las rectas $AP$ y $CS$ son paralelas. Valentin

2006 El triángulo $ABC$ es isósceles con $AB=AC$ y $\angle{BAC}<60^{\circ}$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen sobre el lado $AC$ tales que $EB=ED$ y $\angle{ABD}\equiv\angle{CBE}$ . Denote por $O$ el punto de intersección entre las bisectrices internas de los ángulos $\angle{BDC}$ y $\angle{ACB}$ . Calcule $\angle{COD}$ .