8 Para todo conjunto $S$ con $n(\ge3)$ enteros distintos, demuestre que existe una función $f:\{1,2,\dots,n\}\rightarrow S$ que satisface las dos condiciones siguientes. (i) $\{ f(1),f(2),\dots,f(n)\} = S$ (ii) $2f(j)\neq f(i)+f(k)$ para todos $1\le i<j<k\le n$ .

1 Halle todos los enteros positivos $n$ y los enteros no negativos $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen: $i$ divide exactamente a $a_i$ números entre $a_1,a_2,\dots,a_n$ , para cada $i=1,2,\dots,n$ . ( $0$ es divisible por todos los enteros.)

7 Demuestre que no existe una función $f:\mathbb{R}_{\ge0}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfaga: $f(x+y^2)\ge f(x)+y$ para todos los números reales no negativos $x,y$ .

3 Halle todos los $n>1$ y los enteros $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) $2<a_1\le a_2\le \cdots\le a_n$ (ii) $a_1,a_2,\dots,a_n$ son divisores de $15^{25}+1$ . (iii) $2-\frac{2}{15^{25}+1}=\left(1-\frac{2}{a_1}\right)+\left(1-\frac{2}{a_2}\right)+\cdots+\left(1-\frac{2}{a_n}\right)$

5 Sea $n$ un entero positivo. Define un camaleón como cualquier secuencia de $3n$ letras, con exactamente $n$ ocurrencias de cada una de las letras $a, b$ y $c$. Define un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestra que para cualquier camaleón $X$, existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no puede transformarse en $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

4 4. Sean $a \geq b \geq c \geq d>0$ . Demuestre que \[ \frac{b^3}{a} + \frac{c^3}{b} + \frac{d^3}{c} + \frac{a^3}{d} + 3 \left( ab+bc+cd+da \right) \geq 4 {\left( a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \right)}. \] Otros problemas (en coreano) también están disponibles en https://www.facebook.com/KoreanMathOlympiad

2 Sea un triángulo escaleno $ABC$ , y su circunferencia inscrita toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . La mediatriz de $BC$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P, Q$ , donde $P$ está en el mismo lado que $A$ con respecto a $BC$ . Sea la recta paralela a $AQ$ que pasa por $D$ y corta a $EF$ en $R$ . Demuestre que la intersección entre $EF$ y $PQ$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita de $BCR$ .

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que (i): Para reales distintos $x,y$ , $f(x) \not= f(y)$ . (ii): Para todos los reales $x,y$ , $f(x+f(f(-y)))=f(x)+f(f(y))$

1 Sean $a_1, a_2, . . . $ números reales positivos que satisfacen (i) $a_{n+1}=a_1^2\cdot a_2^2 \cdot . . . \cdot a_n^2-3$ ( para todos los enteros positivos $n$ ) (ii) $\frac{1}{2}(a_1+\sqrt{a_2-1})$ es un entero positivo. Demuestre que $\frac{1}{2}(a_1 \cdot a_2 \cdot . . . \cdot a_n + \sqrt{a_{n+1}-1})$ es un entero positivo

3 $n$ jugadores participaron en una competencia. Cualesquiera dos jugadores jugaron exactamente un juego, y no hubo empates. Para un conjunto de $k(\le n)$ jugadores, si es posible ordenar a los jugadores en una fila de modo que cada jugador haya vencido a todos los jugadores que están detrás de él, llamamos al conjunto ordenado . Para cada jugador que participó en la competencia, el conjunto de jugadores que perdieron contra ese jugador está ordenado. Demuestre que el conjunto completo de jugadores puede dividirse en tres conjuntos ordenados o menos.