2010 TMO

El número de $2024$ dígitos \[ 121212\ldots12 \] está escrito en una pizarra. Ana y Laura juegan por turnos el siguiente juego, moviendo Ana primero. En cada uno de sus turnos, Ana elige uno de los dígitos $1$ o $2$ . En el turno siguiente, Laura borra una ocurrencia del dígito elegido del número actualmente escrito en la pizarra. Determine el número más pequeño de turnos que Ana debe jugar para garantizar que el número que queda en la pizarra sea un palíndromo, sin importar cómo juegue Laura. Propuesto por Daniel Pinedo y Santiago Rodriguez

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^{\circ}$ . Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ , y sean $D$ y $E$ las intersecciones de las rectas $BI$ y $CI$ con los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $I$ a $AB$ y $AC$ , respectivamente. Demuestre que la recta $PQ$ pasa por el punto medio del segmento $DE$ . Propuesto por Cristhian Gonzalez

Sea $n>1$ un entero positivo. Hay $n$ piedras dispuestas en un círculo, con una rana sentada sobre cada piedra. Los números $1,2,\dots,n$ están escritos en las piedras en algún orden. Después de que se da una señal, cada rana mira el número $i$ escrito en la piedra que ocupa y luego salta $i$ posiciones en el sentido de las agujas del reloj a lo largo del círculo. Determine todos los valores de $n$ para los cuales es posible asignar los números $1,2,\dots,n$ a las piedras de tal manera que, después de la señal, no haya dos ranas que caigan sobre la misma piedra. Propuesto por Santiago Rodriguez

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ y $\angle BAC = \angle ABC - 60^\circ$ . Sea $D$ un punto sobre el lado $AC$ tal que $\angle DBC = 60^\circ$ . La circunferencia con centro $B$ y radio $BC$ interseca los segmentos $AB$ y $BD$ en $E$ y $G$ , respectivamente. Sea $F$ la intersección entre las rectas $CG$ y $AB$ . Demuestre que $EF=EG$ . Propuesto por Maria Losada

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $\angle CDE=\angle ABC$. Desde el punto $D$, traza $DF\parallel BC$, que interseca a $AC$ en el punto $F$. Desde el punto $E$, traza $EG\parallel CB$, que interseca a $AB$ en el punto $G$. Demuestra que $DE^2= BG\cdot EF$.

Hay $2024$ enteros no negativos escritos en una pizarra cuya suma es $k$ . Cada minuto, Santiago elige uno de los números de la pizarra, le resta $1$ y suma $1$ a todos los demás números de la pizarra. Determine el valor más pequeño de $k$ para el cual existe una configuración inicial de $2024$ números en la pizarra que Santiago pueda transformar en una colección de enteros consecutivos. Propuesto por Juan David Restrepo

Sean $a,b,c$ números reales no negativos tales que $a+b+c=9$ . Determine el valor más pequeño y el más grande que puede tomar la siguiente expresión \[2a^2+2b^2+2c^2+abc\] . Propuesto por Santiago Rodriguez

1 Dada una sucesión de enteros positivos \( a_1, a_2, \dots \) , halle todas las sucesiones que satisfacen la ecuación \[ a_{n+c} = 2a_{n+1} - a_n \] para algún entero \( c \geq 2 \) y para todos los enteros positivos \( n \) .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Una circunferencia $\Gamma$ es tangente internamente a $\omega$ en $A$ y también es tangente a $BC$ en $D$ . Sean $AB$ y $AC$ las que intersecan a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos sobre la recta $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las rectas $MP$ y $NQ$ se encuentran en $K$ e intersecan a $\Gamma$ nuevamente en $I$ y $J$ , respectivamente. El rayo $KA$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $IJK$ nuevamente en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ . Kian Moshiri, United Kingdom