4 Sea $f(n)$ el número de permutaciones $(a_{1}, a_{2}, \ldots ,a_{n})$ del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ que satisfacen las condiciones: $a_{1}=1$ y $|a_{i}-a_{i+1}|\leq2$ , para cualquier $i=1,2,\ldots,n-1$ . Demuestre que $f(2006)$ es divisible por 3.

2 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ números reales positivos tales que $ a^4 + b^4 + c^4 = 3$ . Demuestre que $ \sum\frac1{4 - ab}\leq1$ , donde el signo $ \sum$ denota la suma cíclica. Formulación alternativa: Para cualesquiera números reales positivos $ a$ , $ b$ , $ c$ que satisfacen $ a^4 + b^4 + c^4 = 3$ , demuestre la desigualdad $ \frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}+\frac{1}{4-ab}\leq 1$ .

2 Sea $m\in N$ y $E(x,y,m)=(\frac{72}x)^m+(\frac{72}y)^m-x^m-y^m$ , donde $x$ e $y$ son divisores positivos de 72. a) Demuestre que existen infinitos números naturales $m$ tales que 2005 divide a $E(3,12,m)$ y a $E(9,6,m)$ . b) Halle el menor entero positivo $m_0$ tal que 2005 divide a $E(3,12,m_0)$ y a $E(9,6,m_0)$ .

3 \[A=3\sum_{m=1}^{n^2}(\frac12-\{\sqrt{m}\})\] donde $n$ es un entero positivo. Halle el mayor $k$ tal que $n^k$ divide a $[A]$ .

1 En el triángulo $ABC$ , $M\in(BC)$ , $\frac{BM}{BC}=\alpha$ , $N\in(CA)$ , $\frac{CN}{CA}=\beta$ , $P\in(AB)$ , $\frac{AP}{AB}=\gamma$ . Sean $AM\cap BN=\{D\}$ , $BN\cap CP=\{E\}$ , $CP\cap AM=\{F\}$ . Demuestre que $S_{DEF}=S_{BMD}+S_{CNE}+S_{APF}$ si y solo si $\alpha+\beta+\gamma=1$ .

4 Halle el mayor $p$ positivo ( $p>1$ ) tal que $\forall a,b,c\in[\frac1p,p]$ se cumple la siguiente desigualdad \[9(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^4\]

3 ¿Existe una configuración de 22 circunferencias y 22 puntos tal que cualquier circunferencia contenga al menos 7 puntos y cualquier punto pertenezca al menos a 7 circunferencias?

4 $n$ es un entero positivo, $K$ el conjunto de polinomios en las variables reales $x_1,x_2,...,x_{n+1}$ e $y_1,y_2,...,y_{n+1}$ , la función $f:K\rightarrow K$ satisface \[f(p+q)=f(p)+f(q),\quad f(pq)=f(p)q+pf(q),\quad (\forall)p,q\in K.\] Si $f(x_i)=(n-1)x_i+y_i,\quad f(y_i)=2ny_i$ para todo $i=1,2,...,n+1$ y \[\prod_{i=1}^{n+1}(tx_i+y_i)=\sum_{i=0}^{n+1}p_it^{n+1-i}\] para cualquier real $t$ , demuestre que para todo $k=1,...,n+1$ \[f(p_{k-1})=kp_k+(n+1)(n+k-2)p_{k-1}\]

3 Para una matriz ${n\times n}$ $A$ , sea $X_{i}$ el conjunto de entradas de la fila $i$ , e $Y_{j}$ el conjunto de entradas de la columna $j$ , ${1\leq i,j\leq n}$ . Decimos que $A$ es dorada si ${X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ son conjuntos distintos. Halle el menor entero $n$ tal que exista una matriz dorada ${2004\times 2004}$ con entradas en el conjunto ${\{1,2,\dots ,n\}}$ .

4 Dadas las funciones $f,g:N^*\rightarrow N^*$ , $g$ es sobreyectiva y $2f(n)^2=n^2+g(n)^2$ , $\forall n>0$ . Demuestre que si $|f(n)-n|\le2005\sqrt n$ , $\forall n>0$ , entonces $f(n)=n$ para infinitos $n$ .