10.4 Inicialmente, $A$ elige una gráfica con \( 2221 \) vértices tal que cada vértice es incidente a al menos una arista. Luego, $B$ borra algunas de las aristas (posiblemente ninguna) de la gráfica elegida. Finalmente, $A$ le paga a $B$ un lev por cada vértice que sea incidente a un número impar de aristas. ¿Cuál es la cantidad máxima que $B$ puede garantizar ganar?

11.2 Sean $\alpha, \beta$ números reales tales que $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{3}$. Demuestra que el conjunto de valores posibles de $\cos \alpha \cos \beta$ es el intervalo $\left[-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right]$.

10.4 La función $f: \mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ es tal que $f(a,b) + f(b,c) = f(ac, b^2) + 1$ para cualesquiera enteros positivos $a,b,c$. Supón que existe un entero positivo $n$ tal que $f(n, m) \leq f(n, m + 1)$ para todo entero positivo $m$. Determina todos los valores posibles de $f(2025, 2025)$.

11.3 Tenemos \( n \) fichas que inicialmente están colocadas en la recta numérica en la posición 0. En cada movimiento, seleccionamos una posición \( x \in \mathbb{Z} \) donde haya al menos dos fichas; tomamos dos de estas fichas, luego colocamos una en \( x-1 \) y la otra en \( x+1 \). a) Demuestra que después de un número finito de movimientos, sin importar cómo se elijan los movimientos, llegaremos a una posición final donde no haya dos fichas ocupando el mismo número en la recta numérica. b) Para cada posición final posible, sea \( \Delta \) la diferencia entre los números donde están ubicadas las fichas más a la derecha y más a la izquierda. Encuentra todos los valores posibles de \( \Delta \) en términos de \( n \).

11.4 Sea $A$ un conjunto de $2025$ enteros no negativos y sea $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ una función con las siguientes dos propiedades: 1) Para cada par de enteros positivos distintos $x,y$ existe $a\in A$, tal que $x-y$ divide a $f(x+a) - f(y+a)$. 2) Para cada entero positivo $N$ existe un entero positivo $t$ tal que $f(x) \neq f(y)$ siempre que $x,y \in [t, t+N]$ sean distintos. Demuestra que hay infinitos primos $p$ tales que $p$ divide a $f(x)$ para algún entero positivo $x$.

12.1 Sean $a,b,c$ números reales positivos con $a+b>c$. Demuestra que $ax + \sin(bx) + \cos(cx) > 1$ para todo $x\in \left(0, \frac{\pi}{a+b+c}\right)$.

12.2 En el plano están fijas dos circunferencias tangentes internamente $\omega$ y $\Omega$, de modo que $\omega$ está dentro de $\Omega$. Denota su punto común por $T$. El punto $A \neq T$ se mueve sobre $\Omega$ y el punto $B$ sobre $\Omega$ es tal que $AB$ es tangente a $\omega$. La recta que pasa por $B$, perpendicular a $AB$, corta a la bisectriz exterior del ángulo $\angle ATB$ en $P$. Demuestra que, cuando $A$ varía sobre $\Omega$, la recta $AP$ pasa por un punto fijo.

12.3 Determina todas las funciones \( f: \mathbb{Z}_{\geq 2025} \to \mathbb{Z}_{>0} \) tales que \( mn+1 \) divide a \( f(m)f(n) + 1 \) para cualesquiera enteros \( m,n \geq 2025 \) y existe un polinomio \( P \) con coeficientes enteros, tal que \( f(n) \leq P(n) \) para todo \( n\geq 2025 \).

Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que para cualesquiera reales positivos $x,y$ , $$f(xy+f(xy)) = xf(y) + yf(x)$$

Let $P$ y $Q$ sean polinomios mónicos no constantes con coeficientes enteros, y sean $a$ y $b$ enteros que satisfacen $|a| \geq 3$ y $|b| \geq 3$. Estos cumplen las siguientes condiciones para todo entero positivo $n$: $$ P(n) \mid Q(n)^2 + aQ(n) + 1, \quad Q(n) \mid P(n)^2 + bP(n) + 1. $$ Determina todos los pares ordenados posibles $(a+b, \deg P)$.