4 En una conferencia internacional participan $n$ científicos $(n > 100)$ , donde se cumplen las siguientes condiciones: todo científico conoce al menos a otros 4 participantes, y todo conocimiento es mutuo. En ningún grupo de 4 científicos se conocen todos entre sí. Cualesquiera dos científicos que participan en la conferencia están conectados mediante una cadena de conocidos. El número mínimo de conocidos necesario para conectar a dos científicos mediante una cadena de participantes conocidos en la conferencia se llama la distancia entre los dos científicos. Si $d$ es la distancia máxima entre cualesquiera dos participantes de la conferencia, demuestre que $$d \leq \left\lceil \frac{4}{7}n \right\rceil + 3 .$$

1 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , sus diagonales se intersecan en $E$ . Sean $H$ , $G$ los puntos medios de sus lados $AD$ , $BC$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas $c_1$ y $c_2$ de los triángulos $AEB$ y $DEC$ , respectivamente, se intersecan en el punto $F \ne E$ . Si la recta que pasa por $E$ paralela a la recta $HG$ interseca a la circunferencia $c_2$ en el punto $S$ , demuestre que $FS \parallel CD$ .

2 Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todo entero positivo $n$ . Muestre que $a_{2023}\leq 1$ . 2023 Greek TST p2 version

2 Se da un triángulo $\triangle{ABC}$ , con $AB<AC<BC$ , inscrito en la circunferencia $c(O,R)$ . Sean $D,E,Z$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente, y $K$ el pie de la altura desde $A$ . En el exterior de $\triangle{ABC}$ y con los lados $AB,AC$ como diámetros, construimos las semicircunferencias $c_1,c_2$ respectivamente.Supongamos que $P\equiv DZ\cap c_1 \ , \ S\equiv KZ\cap c_1$ y $R\equiv DE\cap c_2 \ , \ T\equiv KE\cap c_2$ . Finalmente, sea $M$ la intersección de las rectas $PS,RT$ . i. Demuestre que las rectas $PR,ST$ se cortan en $A$ . ii. Demuestre que las rectas $PR\cap MD$ se cortan sobre $c$ . [asy]import graph; size(8cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -4.8592569519241255, xmax = 12.331775417316715, ymin = -3.1864435704043403, ymax = 6.540061585876658; /* image dimensions */ pen aqaqaq = rgb(0.6274509803921569,0.6274509803921569,0.6274509803921569); pen uququq = rgb(0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274); draw((0.6699432366054657,3.2576036755978928)--(0.,0.)--(5.,0.)--cycle, aqaqaq); /* draw figures */ draw((0.6699432366054657,3.2576036755978928)--(0.,0.), uququq); draw((0.,0.)--(5.,0.), uququq); draw((5.,0.)--(0.6699432366054657,3.2576036755978928), uququq); draw(shift((0.33497161830273287,1.6288018377989464))*xscale(1.662889476749906)*yscale(1.662889476749906)*arc((0,0),1,78.3788505217281,258.3788505217281)); draw(shift((2.834971618302733,1.6288018377989464))*xscale(2.7093067970187343)*yscale(2.7093067970187343)*arc((0,0),1,-36.95500560847834,143.0449943915217)); draw((0.6699432366054657,3.2576036755978928)--(0.6699432366054657,0.)); draw((-0.9938564482532047,2.628510486065423)--(2.5,0.)); draw((0.6699432366054657,0.)--(0.,3.2576036755978923)); draw((0.6699432366054657,0.)--(5.,3.257603675597893)); draw((2.5,0.)--(3.3807330143335355,4.282570444700163)); draw((-0.9938564482532047,2.628510486065423)--(2.5,4.8400585427926455)); draw((2.5,4.8400585427926455)--(5.,3.257603675597893)); draw((-0.9938564482532047,2.628510486065423)--(3.3807330143335355,4.282570444700163), linewidth(1.2) + linetype("2 2")); draw((0.,3.2576036755978923)--(5.,3.257603675597893), linewidth(1.2) + linetype("2 2")); draw(circle((2.5,1.18355242571055), 2.766007292905304), linewidth(0.4) + linetype("2 2")); draw((2.5,4.8400585427926455)--(2.5,0.), linewidth(1.2) + linetype("2 2")); /* dots and labels */ dot((0.6699432366054657,3.2576036755978928),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A$", (0.7472169504504719,2.65), NE * labelscalefactor); dot((0.,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B$", (-0.2,-0.4), NE * labelscalefactor); dot((5.,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C$", (5.028818057451246,-0.34281415594345044), NE * labelscalefactor); dot((2.5,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$D$", (2.4275434226319077,-0.32665717063401356), NE * labelscalefactor); dot((2.834971618302733,1.6288018377989464),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$E$", (3.073822835009383,1.5637101105701008), NE * labelscalefactor); dot((0.33497161830273287,1.6288018377989464),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$Z$", (0.003995626216375389,1.402140257475732), NE * labelscalefactor); dot((0.6699432366054657,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$K$", (0.6179610679749769,-0.3105001853245767), NE * labelscalefactor); dot((-0.9938564482532047,2.628510486065423),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$P$", (-1.0785223895158957,2.7916409940873033), NE * labelscalefactor); dot((0.,3.2576036755978923),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$S$", (-0.14141724156855653,3.454077391774215), NE * labelscalefactor); dot((5.,3.257603675597893),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$T$", (5.061132028070119,3.3571354799175936), NE * labelscalefactor); dot((3.3807330143335355,4.282570444700163),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$R$", (3.445433497126431,4.375025554412117), NE * labelscalefactor); dot((2.5,4.8400585427926455),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$M$", (2.5567993051074027,4.940520040242407), NE * labelscalefactor); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */[/asy]

$ n$\[ \sum_{k=1}^n\binom{n+k-1}{2k-1}=F_{2n}\]

3 Considere un cuadrado $100 \times 100$ que consta de $10^4$ cuadrados unitarios. Llamamos tipo $A$ a las baldosas rectangulares $8 \times 1$ o 1 $\times 8$ que constan de $8$ cuadrados unitarios. Llamamos tipo $B$ a las baldosas rectangulares $4 \times 2$ o $2\times 4$ que constan de $8$ cuadrados unitarios. ¿Es posible cubrir totalmente el cuadrado original usando $N$ baldosas de tipo $A$ y $N$ baldosas de tipo $B$ , para algún entero positivo $N$ ? (suponemos que las baldosas no se superponen y están contenidas dentro del cuadrado original $100 \times 100$ )

4 Halle todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primes}} (p+q)$$ Aryan-23

1 Halle todos los enteros positivos $n\geq1$ tales que exista un par $(a,b)$ de enteros positivos tal que $a^2+b+3$ no sea divisible por el cubo de ningún primo, y $$n=\frac{ab+3b+8}{a^2+b+3}.$$

2 Considere el triángulo $ABC$ con $AB<AC<BC$ , inscrito en la circunferencia $\Gamma_1$ , y las circunferencias $\Gamma_2 (B,AC)$ y $\Gamma_2 (C,AB)$ . Un punto común de las circunferencias $\Gamma_2$ y $\Gamma_3$ es el punto $E$ , un punto común de las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_3$ es el punto $F$ y un punto común de las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ es el punto $G$ , donde los puntos $E,F,G$ están en el mismo semiplano determinado por la recta $BC$ , en el que no se encuentra el punto $A$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $EFG$ está sobre la circunferencia $\Gamma_1$ . Nota: Con la notación $\Gamma (K,R)$ queremos decir que una circunferencia arbitraria $\Gamma$ tiene centro $K$ y radio $R$ .

3 Halle la mayor constante posible $M$ tal que, para cualquier sucesión $a_n$ , $n=0,1,2,...$ de números reales que satisfaga las condiciones: i) $a_0=1$ , $a_1=3$ ii) $a_0+a_1+...+a_{n-1} \ge 3 a_n - a_{n+1}$ para todo entero $n\ge 1$ , se cumpla que $$\frac{a_{n+1}}{a_n} >M$$ para todo entero $n\ge 0$ .