2 ¿Existe un entero $A$ tal que cada una de las diez cifras $0, 1, . . . , 9$ aparezca exactamente una vez como cifra en exactamente uno de los números $A, A^2, A^ 3$ ?

3 En $\vartriangle ABC$ , las bisectrices exteriores de $\angle A$ y $\angle B$ se cortan en un punto $D$ . Demuestre que el circuncentro de $\vartriangle ABD$ y los puntos $C, D$ están sobre la misma recta.

4 Determine los valores del entero positivo $n$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones tiene una solución en enteros positivos $x_1, x_2,...,, x_n$ . Halle todas las soluciones para cada uno de tales $n$ . $$\begin{cases} x_1 + x_2 +...+ x_n = 16 \\ \\ \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} +...+ \dfrac{1}{x_n} = 1\end{cases}$$

5 Suponga que $S = \{a_1, a_2,..., a_{15}\}$ es un conjunto de $1 5$ enteros positivos distintos elegidos de $2 , 3, ... , 2012$ tales que cada dos de ellos son coprimos. Demuestre que $S$ contiene un número primo. (Nota: dos enteros positivos $m, n$ son coprimos si su único factor común es 1)

1 Suponga que $a,b,c,d> 0$ y $x = \sqrt{a^2+b^2}, y = \sqrt{c^2+d^2}$ . Demuestre que $xy \ge ac + bd$ .

2 Dos circunferencias $\Gamma_1, \Gamma_2$ con radios $r_i, r_2$ , respectivamente, son tangentes internamente en el punto $P$ . Una tangente paralela al diámetro que pasa por $P$ toca a $ \Gamma_1$ en $R$ e interseca a $\Gamma_2$ en $M$ y $N$ . Demuestre que $PR$ biseca el ángulo $\angle MPN$ .

3 $\text{Let} S_1,S_2,...S_{2011}$ $\text{be nonempty sets of consecutive integers such that any}$ $2$ $\text{of them have a common element. Prove that there is a positive integer that belongs to every}$ $S_i, i=1,...,2011$ (Por ejemplo, ${2,3,4,5}$ es un conjunto de enteros consecutivos mientras que ${2,3,5}$ no lo es.)

4 Cualquier entero positivo $n$ puede escribirse en la forma $n = 2^aq$ , donde $a \ge 0$ y $q$ es impar. Llamamos a $q$ la parte impar de $n$ . Defina la sucesión $a_0,a_1,...$ como sigue: $a_0 = 2^{2011}-1$ y, para $m > 0, a_{m+i}$ es la parte impar de $3a_m + 1$ . Halle $a_{2011}$ .

5 Inicialmente, el número $10$ está escrito en la pizarra. En cada movimiento posterior, usted puede (i) borrar el número $1$ y reemplazarlo por un $10$ , o (ii) borrar el número $10$ y reemplazarlo por un $1$ y un $25$ , o (iii) borrar un $25$ y reemplazarlo por dos $10$ . Después de un tiempo, observa que hay exactamente cien copias de $1$ en la pizarra. ¿Cuál es la menor suma posible de todos los números de la pizarra en ese momento?

1 Sean las diagonales del cuadrado $ABCD$ intersecándose en $S$ y sea $P$ el punto medio de $AB$ . Sea $M$ la intersección de $AC$ y $PD$ y $N$ la intersección de $BD$ y $PC$ . Una circunferencia está inscrita en el cuadrilátero $PMSN$ . Demuestre que el radio de la circunferencia es $MP- MS$ .