A4 Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$ . Demuestre que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

B1 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. La casilla en la $i$ -ésima fila y la $j$ -ésima columna de una cuadrícula de $n$ por $n$ contiene el número $i+j-k$ . ¿Para cuáles $n$ y $k$ es posible seleccionar $n$ casillas de la cuadrícula, sin que dos estén en la misma fila o columna, de modo que los números contenidos en las casillas seleccionadas sean exactamente $1,\,2,\,\ldots,\,n$ ? KevinYang2.71

B2 Dos cuadriláteros convexos se llaman socios si tienen tres vértices en común y pueden etiquetarse $ABCD$ y $ABCE$ de modo que $E$ sea la reflexión de $D$ respecto a la mediatriz de la diagonal $\overline{AC}$ . ¿Existe una sucesión infinita de cuadriláteros convexos tal que cada cuadrilátero sea socio de su sucesor y no haya dos elementos de la sucesión congruentes? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/e/cc9da12a49043410c50733cb6843e5ec1005d3.jpeg KevinYang2.71

B3 Sea $r_n$ la $n$ -ésima solución positiva más pequeña de $\tan x=x$ , donde el argumento de la tangente está en radianes. Demuestre que \[ 0<r_{n+1}-r_n-\pi<\frac{1}{(n^2+n)\pi} \] para $n\geq 1$ . KevinYang2.71

B4 Sea $n$ un entero positivo. Ponga $a_{n,0}=1$ . Para $k\geq 0$ , elija un entero $m_{n,k}$ uniformemente al azar del conjunto $\{1,\,\ldots,\,n\}$ , y sea \[ a_{n,k+1}= \begin{cases} a_{n,k}+1, & \text{if $m_{n,k}>a_{n,k}$;}\\ a_{n,k}, & \text{if $m_{n,k}=a_{n,k}$;}\\ a_{n,k}-1, & \text{if $m_{n,k}<a_{n,k}$.} \end{cases} \] Sea $E(n)$ el valor esperado de $a_{n,n}$ . Determine $\lim_{n\to\infty}E(n)/n$ . KevinYang2.71

B5 Sean $k$ y $m$ enteros positivos. Para un entero positivo $n$ , sea $f(n)$ el número de sucesiones de enteros $x_1,\,\ldots,\,x_k,\,y_1,\,\ldots,\,y_m,\,z$ que satisfacen $1\leq x_1\leq\cdots\leq x_k\leq z\leq n$ y $1\leq y_1\leq\cdots\leq y_m\leq z\leq n$ . Demuestre que $f(n)$ puede expresarse como un polinomio en $n$ con coeficientes no negativos. KevinYang2.71

B6 Para un número real $a$ , sea $F_a(x)=\sum_{n\geq 1}n^ae^{2n}x^{n^2}$ para $0\leq x<1$ . Halle un número real $c$ tal que \begin{align*} \lim_{x\to 1^-}F_a(x)e^{-1/(1-x)}&=0 \ \ \ \text{for all $a<c$, and}\\ \lim_{x\to 1^-}F_a(x)e^{-1/(1-x)}&=\infty \ \ \ \text{for all $a>c$.} \end{align*} KevinYang2.71

12 Se asignará el número $0$ o $1$ a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos que dos asignaciones que se pueden obtener una de la otra mediante una rotación en el plano del polígono son idénticas)?

13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales que $p.$ Demuestra que para cada número natural $r$ menor o igual que $p$, existen dos números (quizás iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\]

14 Sea $\ell$ tangente a la circunferencia $k$ en $B$. Sea $A$ un punto sobre $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ el simétrico de $P$ con respecto a $AB$. Encuentra el conjunto de todos esos puntos $M$. Amir