12.2 Determina todos los valores de \(a_0\) para los cuales la sucesión de números reales con \(a_{n+1}=3a_n - 4a_n^3\) para todo \(n\geq 0\) es periódica desde el principio.

12.4 Demuestra que una gráfica que contiene una copia de cada árbol posible en $n$ vértices como subgráfica tiene al menos $n(\ln n - 2)$ aristas.

9.2 Sea \( ABC \) un triángulo escaleno acutángulo inscrito en una circunferencia \( \Gamma \). La bisectriz del ángulo \( \angle BAC \) interseca a \( BC \) en \( L \) y a \( \Gamma \) en \( S \). El punto \( M \) es el punto medio de \( AL \). Sea \( AD \) la altura en \( \triangle ABC \), y la circunferencia circunscrita de \( \triangle DSL \) interseca a \( \Gamma \) nuevamente en \( P \). Sea \( N \) el punto medio de \( BC \), y sea \( K \) la reflexión de \( D \) con respecto a \( N \). Demuestra que los triángulos \( \triangle MPS \) y \( \triangle ADK \) son semejantes.

9.3 En un país hay pueblos, algunos de los cuales están conectados por carreteras. Existe una ruta (no necesariamente directa) entre cada dos pueblos. El Ministro de Educación ha garantizado que todo pueblo sin escuela esté conectado mediante una carretera directa a un pueblo que tenga escuela. El Ministro de Optimización Estatal quiere asegurar que haya un camino único entre cualesquiera dos pueblos (sin repetir tramos recorridos), lo que puede requerir eliminar algunas carreteras. ¿Es siempre posible lograrlo sin construir escuelas adicionales y preservando lo que el Ministro de Educación ha logrado?

9.4 Determina todas las funciones \( f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} \) tales que \( f(a) + 2ab + 2f(b) \) divide a \( f(a)^2 + 4f(b)^2 \) para cualesquiera enteros positivos \( a \) y \( b \).

10.2 Sea \( AB \) un triángulo escaleno agudo. Un punto \( D \) varía sobre su lado \( BC \). Los puntos \( P \) y \( Q \) son los puntos medios de los arcos \( \widehat{AB} \) y \( \widehat{AC} \) (que no contienen a \( D \)) de las circunferencias circunscritas de los triángulos \( ABD \) y \( ACD \), respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo \( PQD \) pasa por un punto fijo, independiente de la elección de \( D \) sobre \( BC \).

10.4 Inicialmente, $A$ elige una gráfica con \( 2221 \) vértices tal que cada vértice es incidente a al menos una arista. Luego, $B$ borra algunas de las aristas (posiblemente ninguna) de la gráfica elegida. Finalmente, $A$ le paga a $B$ un lev por cada vértice que sea incidente a un número impar de aristas. ¿Cuál es la cantidad máxima que $B$ puede garantizar ganar?

11.2 Sean $\alpha, \beta$ números reales tales que $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{3}$. Demuestra que el conjunto de valores posibles de $\cos \alpha \cos \beta$ es el intervalo $\left[-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right]$.

11.3 La malvada hechicera Morgana vive en un palacio con forma de cuadrado dividido en una cuadrícula de \(101 \times 101\) habitaciones, cada una inicialmente a una temperatura de \(20^\circ\) C. Merlín intenta congelar a Morgana lanzando un hechizo que fija permanentemente la temperatura de la celda central a \(0^\circ\) C. En cada nanosegundo posterior, ocurren los siguientes pasos en orden: 1. Para cada celda excepto la central, la nueva temperatura se calcula como el promedio aritmético de las temperaturas de sus celdas adyacentes (las que comparten un lado). 2. Todas las nuevas temperaturas (excepto la celda central) se actualizan simultáneamente a los valores calculados. Morgana puede moverse libremente entre habitaciones, pero se congelará si todas las temperaturas de las habitaciones bajan de \(10^{-2025}\) grados. El hechizo de hielo dura \(10^{75}\) nanosegundos, después de lo cual las temperaturas vuelven a sus valores iniciales. ¿Tendrá éxito Merlín en congelar a Morgana?

11.4 Llamamos amigables a dos polinomios no constantes si cada uno de ellos tiene solo raíces reales, y toda raíz de un polinomio también es raíz del otro. Para dos polinomios amigables \( P(x), Q(x) \) y una constante \( C \in \mathbb{R}, C \neq 0 \), se da que \( P(x) + C \) y \( Q(x) + C \) también son polinomios amigables. Demuestra que \( P(x) \equiv Q(x) \).