33 Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ - ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$, congruente con $OAB$ e inicialmente coincidente con él, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ recorren cada uno todo el borde del polígono, permaneciendo $X$ en el interior del polígono. Halle el lugar geométrico de $X$.

34 Para cada entero no negativo $n$, $F_n(x)$ es un polinomio en $x$ de grado $n$. Demuestre que si la identidad \[F_n(2x)=\sum_{r=0}^{n} (-1)^{n-r} \binom nr 2^r F_r(x)\] se cumple para cada n, entonces \[F_n(tx)=\sum_{r=0}^{n} \binom nr t^r (1-t)^{n-r} F_r(x)\] Amir

35 Determine los valores máximo y mínimo que puede tener la suma $|a| + |b| + |c|$ si $a, b, c$ son números reales tales que el valor máximo de $|ax^2 + bx + c|$ es $1$ para $-1 \leq x \leq 1.$ Amir

36 Dado un conjunto finito de puntos en el plano, cada uno con coordenadas enteras, ¿es siempre posible colorear los puntos de rojo o blanco de modo que para cualquier recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas la diferencia (en valor absoluto) entre los números de puntos blancos y rojos sobre $L$ no sea mayor que $1$?

37 Demuestre que el conjunto $\{1, 2, . . . , 1986\}$ puede descomponerse en $27$ conjuntos disjuntos de modo que ninguno de estos conjuntos contenga una terna aritmética (es decir, tres números distintos en progresión aritmética). Amir

38 A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x,y,z$ respectivamente, y $y<0$, entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ son reemplazados por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Tal operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determine si este procedimiento termina necesariamente después de un número finito de pasos.

39 Sea $S$ un conjunto de $k$ - elementos. (a) Halle el número de aplicaciones $f : S \to S$ tales que \[\text{(i) } f(x) \neq x \text{ for } x \in S, \quad \text{(ii) } f(f(x)) = x \text{ for }x \in S.\] (b) Lo mismo con la condición $\text{(i)}$ omitida. Amir

40 Halle el valor máximo que puede tener la cantidad $2m+7n$ tal que existen enteros positivos distintos $x_i \ (1 \leq i \leq m), y_j \ (1 \leq j \leq n)$ tales que los $x_i$ son pares, los $y_j$ son impares, y $\sum_{i=1}^{m} x_i +\sum_{j=1}^{n} y_j=1986.$ Amir

41 Sean $M,N,P$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $ABC$. Las rectas $AM, BN, CP$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente. Muestre que si $A'B'C'$ es un triángulo equilátero, entonces también lo es $ABC.$ Amir

42 Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ se colocan en las casillas de un tablero de ajedrez $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que a cualesquiera dos casillas que tengan un lado o un vértice en común se les asignan números que difieren en a lo sumo $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones? Amir